Somme d'une v.a.r. continue et d'une v.a.r. discrète

ThomasG

Bonjour
Je considère $(\Omega,\mathbb{A},\mathbb{P})$ un ensemble probabilisé et $X$, $B$ deux v.a.r. 
$X$ possède une densité de probabilité, notée $f_X$, et la loi de $B$ est la loi $P({B=1})=P({B=-1})=\frac{1}{2}$.
Enfin, $X$ et $B$ sont supposées indépendantes.
On demande de montrer que la v.a.r. $Y$ définie par $Y=\frac{X}{2}+B$ admet une densité de probabilité, puis de calculer cette densité de probabilité en fonction de $f_X$.
J'essaye d'abord de calculer la fonction de densité de $Y$, que je vais noter $f_Y$. Je prends la question à l'envers mais comme de toute façon la fonction densité de $Y$ existe...
Alors, la première idée qui me vient est de faire appel au produit de convolution pour déterminer la fonction de densité de $Y$.
J'ai alors que $$f_Y(x)=f_X*f_B(x)=\int_{\mathbb{R}}f_X(x-t)f_B(t)dt.$$
Le souci, c'est que $B$ est une v.a.r. discrète, donc à quoi correspondrait mon $f_B(t)$ ici ?
Ou alors, est-ce que ce n'est pas du tout comme cela qu'il faut chercher la loi de densité de $Y$ ? Auquel cas, pouvez-vous me mettre sur la voie ?
Merci !

gerard0

Bonjour.

Il paraît plus simple de déterminer la fonction de répartition de $Y$. Car la formule que tu prends a des conditions sur les Var qui ne sont pas respectées ici. Ou nécessite une définition adaptée du produit de convolution.

Cordialement.

ThomasG

Merci gerard. Bien noté, je m'y attelle.

Barjovrille

Bonjour, c'est quoi la définition d'une densité pour toi (ou dans ton cours)?

( Je ne sais pas si tu as remarqué mais tu as déjà croisé la v.a B dans un de tes exercices c'était $B$ suit la loi $\frac{1}{2} ( \delta_{-1} + \delta_1)$)

ThomasG

Bonjour Barjovrille
Oui, en effet, c'est bien la même que celle de l'autre exercice.
Pour répondre à ta question... Si je considère une mesure de probabilité P$\mathbb{P}$sur $(\mathbb{R},B(\mathbb{R}))$, alors on dit que $\mathbb{P}$ possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue $\lambda$ s'il existe une fonction $f$ mesurable et positive telle que pour tout borélien $B$, on a $\mathbb{P}(B)=\int_B f(x)d\lambda(x)$. La fonction $f$ est appelée densité de la loi de $\mathbb{P}$ par rapport à $\lambda$.

Je poste dès que je trouve des choses qui méritent de l'être ^^ 
Merci pour vos réponses en tous les cas  

ThomasG

Je pensais à une décomposition de la loi de $Y$. On pourrait par exemple écrire que la loi de $Y$ est donnée par la mesure $P_Y$ définie par $P_Y=\frac{1}{2}\nu_1+\nu_2$ avec $\nu_1$ la mesure dont la fonction de densité par rapport à la mesure de Lebesgue est $f$, et $\nu_2=\frac{\delta_{-1}+\delta_1}{2}$.
Peux-être que ce sera utile pour la suite.

Sinon, en notant $F_Y$ la fonction de répartition de la variable aléatoire $Y$, on a que $F_Y(x)=P(Y\le x)=P(Y^{-1}(]-\infty,x]))$
Cela revient donc à calculer $P(\frac{X}{2}+B\le x)$.
Du coup, on peut remarquer que $P(\frac{X}{2}+B\le x)=P(X\le 2x-2B)$.
Comme B est à valeurs discrètes, on peut s'en sortir, non ? 

Je continue...

gerard0

Pourquoi compliquer ? Utilise la définition de $B$ :

$F_Y(x) = P(X\le x-1\mid B=1)P(B=1)+P(X\le x+1\mid B=-1)P(B=-1)$ (formule des probabilités totales). Et la suite est élémentaire.

Cordialement.

[modifié suite à la bonne remarque de Poirot]

Poirot

Il manque quelques coefficients dans ta somme @gerard0

gerard0

Merci, je rectifie (j'ai été fainéant !!)

Calli

Bonjour,

ThomasG a dit :

On pourrait par exemple écrire que la loi de $Y$ est donnée par la mesure $P_Y$ définie par $P_Y=\frac{1}{2}\nu_1+\nu_2$ avec $\nu_1$ la mesure dont la fonction de densité par rapport à la mesure de Lebesgue est $f$, et $\nu_2=\frac{\delta_{-1}+\delta_1}{2}$.

Attention, ça n'est pas vrai. Si ça l'était, la masse totale de $P_Y$ serait $ \frac{1}{2}\nu_1(\Bbb R)+\nu_2(\Bbb R)=\frac32$ alors qu'elle doit valoir 1.
Si on veut l'écrire en terme de mesures de probas, il faut écrire $P_Y = h_\#(\nu_1)*\nu_2$ avec $*$ la convolution de mesures, $h:x\in\Bbb R\mapsto \frac{x}2$ et $h_\#(\nu_1)$ le poussé en avant de $\nu_1$ par $h$. C'est assez lourd comme écriture du coup, donc ça n'a pas forcément beaucoup d'intérêt.