Élément d'ordre ppcm(a,b) dans un groupe abélien fini

Tony Schwarzer

Bonjour,
Soit $G$ un groupe abélien fini, et $x$ et $y$ deux éléments de $G$ d'ordre $a$ et $b$. Je veux montrer qu'il existe un élément d'ordre $ppcm(a,b)$. Dans une question précédente, on montre qu'il existe $x'$ et $y'$ d'ordre $a'$ et $b'$, $pgcd(a',b')=1$, $a'b'=ppcm(a,b)$.
Comment en déduire l'existence d'un élément d'ordre $ppcm(a,b)$ ? Je ne vois pas pourquoi $x'y'$ serait de l'ordre du ppcm.

Tony Schwarzer

Edit : j'ai trouvé finalement. Par des arguments de divisibilité assez directs et Lagrange. Désolé du dérangement.

[Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) prend toujours une majuscule. AD]

Poirot

C'est bien $x'y'$ qui est d'ordre $a'b'$. Il te suffit de remarquer que $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = \{e\}$ car son cardinal doit diviser $a'$ et $b'$. Ainsi, si $(x'y')^k = x'^k y'^k = e$, c'est que $x'^k \in \langle x \rangle \cap \langle y \rangle$ et donc que $x'^k =e$...

Tony Schwarzer

Poirot

Oui c'est un argument analogue que j'ai utilisé. Merci.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Fin de partie

Si $x$ est d'ordre $a$ et $y$ est d'ordre $b$ quel est l'ordre de $xy$?

gai requin

Un diviseur de $\mathrm{ppcm}(a,b)$.