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Métrique inverse et dérivée covariante

Bonjour
Soit $(M,g)$ une variété différentielle semi-riemannienne, soit $\nabla$ la connexion de Levi-Civita
on a la propriété suivante (compatibilité) $\forall X,Y,Z$ champ de vecteurs, $X\big(g(Y,Z)\big)=g(\nabla _X Y, Z) + g( Y, \nabla_X Z)$.
Est-ce que l'on a une propriété similaire pour la métrique inverse de $g$ ?

Réponses

  • Modifié (20 Apr)
    Peut-être, on peut raisonner comme cela: $g_{ab} g^{bc}= \delta_a^c$. Donc $(\nabla_Xg_{ab}) g^{bc}+g_{ab}( \nabla_X g^{bc})=0$. Or $\nabla_X g_{ab}=0$. Donc $\nabla_X g^{bc}=0$. Donc $\nabla_X (g^{bc}Y_bZ_c)= g^{bc}(\nabla_X Y_b) Z_c+g^{bc} Y_b (\nabla_X Z_c)$.
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