Une expérience, deux modélisations, deux résultats
Bonjour
Ce matin une élève m'a soumis un petit exercice de proba.
On distribue de façon équiprobable toutes les cartes d'un jeu de 52 cartes à 4 joueurs (recevant donc 13 cartes chacun) et on se demande la probabilité que chaque joueur ait reçu exactement un as.
Je lui propose de modéliser l'expérience par $\Omega=\left\{ 1;2;3;4\right\} ^{\left\{ P;C;T;K\right\} }$ (on associe, à chacun des 4 as, le joueur qui le recevra). La probabilité cherchée, selon cette modélisation, est donc : $\frac{4!}{4^{4}}$.
Surprise par ma solution elle m'oppose celle de son livre.
Qu'en pensez-vous ?
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Je pense qu'il y a un problème avec ta modélisation.
Lorsque tu distribues le premier as, pour le joueur qui l'a reçu, il y a un emplacement d'utilisé parmi les 13 cartes.
Il a donc moins de chances d'avoir les as suivants que les joueurs n'ayant encore rien reçu puisqu'ils ont encore 13 emplacements disponibles donc ton $\frac{1}{4^4}$ me dérange.
...
Au final on va trouver $4!\times \frac{13}{52}\times \frac{13}{51} \times \frac{13}{50} \times \frac{13}{49}$ et on retombe bien sur nos pattes.
Je demande à mes 4 amis qui a l'as de Pique...
Je cherche ensuite à savoir qui a l'as de Coeur. J'ai 39 chances sur 51 que l'as de Coeur ne soit pas dans la même main que l'as de Pique.
Qui peut bien avoir l'as de Carreau ? J'ai 26 chances sur 50 que l'as de Carreau ne soit pas dans l'une des 2 mains qui ont déjà un as.
Qui peut bien avoir l'as de Trèfle, J'ai 13 chances sur 49 que l'as de trèfle soit dans la main restante.
P=(39*26*13)/(51*50*49)
Ca coïncide avec la solution du livre, avec une approche assez différente.
Ce serait le cas uniquement s'il y avait remise des cartes dans le paquet au fur et à mesure. Mais malheureusement pour toi ce n'est pas le cas.
P((joueur i reçoit C) $\cap$ (joueur j reçoit P)) $\neq$ P(joueur i reçoit C)$\times$ P(joueur j reçoit P) or toi tu utilises l'égalité sans le dire.
Comme dit Raoul.S, il faut regarder les cas extrêmes.
On a 2 joueurs, un jeu avec 4 cartes, dont 2 as.
Les calculs sont simples...
C'est pour ça que j'ai essayé de raisonner comme troisqua mais en corrigeant le problème.
La solution du livre est parfaite.
C'est sûr, OShine, je n'aimerais pas vivre dans ton univers
Cordialement,
Rescassol