Envoyer un groupoïde dans un groupe

Seirios

Bonjour à tous
Je travaille sur une certaine construction, et je me demande à quel point je peux la pousser dans la généralité. Ne connaissant pas vraiment la littérature autour de la théorie des catégories, je viens vérifier si ce que j'ai en tête n'existe pas déjà quelque part.

Grossièrement, le problème est le suivant. J'ai un groupoïde $G$, que je pense comme un groupe dont le produit n'est que partiellement défini, et je souhaite étendre globalement ce produit pour obtenir un groupe $\mathrm{Gr}(G)$. L'extension doit être la plus canonique possible. En particulier, il doit y avoir un morphisme (injectif ?) $G \to \mathrm{Gr}(G)$. 

Dans le cas qui m'intéresse, le groupoïde $G$ arrive avec une présentation, donc la définition de $\mathrm{Gr}(G)$ est plutôt évidente, et le morphisme $G \to \mathrm{Gr}(G)$ est donné gratuitement. Par contre, l'injectivité n'est pas du tout claire, et peut-être même fausse. 
Avez-vous déjà croisé ce type de question quelque part ?

GaBuZoMeu

Bonjour,

Tu veux un adjoint à gauche au foncteur d'inclusion de la catégorie des groupes dans celle des groupoïdes ?

Maxtimax

La construction universelle fournit un morphisme injectif. 

En fait, elle est facile à décrire la construction universelle, comme tu le suggères : $Cr(G)$ a pour générateurs les flèches de ton groupoïde, et pour relation $[g\circ h] = [g][h]$ dès que $g,h$ sont composables (noter que cela implique $[id_x] = 1$). 

Bon, déjà, on peut se ramener à un groupoïde connexe. En effet, $Cr(-)$ préserve les coproduits, et il est clair que l'inclusion d'un facteur direct dans un produit libre de groupes est injective. 

Je commence ensuite par un cas particulier : si le groupoïde est un "ensemble-oïde", i.e. $|\hom(x,y)|\leq 1$ pour tous $x,y$ - équivalemment un ensemble muni d'une relation d'équivalence.  Si le groupoïde est connexe, c'est que c'est la relation d'équivalence totale.

Dans ce cas $Cr(G)$ est le groupe libre sur les paires $(x,y)$ d'objets, modulo $(x,y)(y,z) = (x,z)$. Fixant un $x$ parmi les objets, il n'est pas dur de voir qu'il s'agit du groupe libre sur $(x,y), y\in Ob(G)\setminus\{x\}$ : on envoie $(y,z)$ sur $(x,y)^{-1}(x,z)$ (en définissant $(x,x) := 1$), et je te laisse vérifier que ça fait l'identité dans les deux sens. 

 En particulier dans ce cas, $G\to Cr(G)$ est bien injective : si $(y,z) \mapsto 1$, alors $(x,y)$ et $(x,z)$ sont envoyés sur la même chose dans le groupe libre, ce qui implique bien entendu $(x,y) =(x,z)$, donc $y=z$. 

Dans le cas d'un $G$ général, on peut commencer par comparer $G$ et son "ensemblroïdification" $G'$ (qui est juste $Ob(G)$ muni de la relation d'équivalence "il existe un morphisme entre"). On a un diagramme commutatif reliant $G,G', Cr(G); Cr(G')$. 

En particulier, si $g$  est une flèche de $G$ qui est envoyée sur $1$ dans $Cr(G)$, disons $g:x\to y$, alors $(x,y) \in G'$ est envoyée sur $1$ dans $Cr(G')$, donc par le cas précédent, $x= y$. Mais maintenant, on observe qu'il existe un morphisme $G\to G(x) := \hom_G(x,x)$ (qui est en fait une équivalence si $G$ est connexe) tel que $G(x)\to G\to G(x)$ est l'identité. En particulier, on est ramené au cas où $G$ a un seul objet, mais ce cas là est simple. 

Seirios

@GaBuZoMeu : Je ne sais pas ce qu'est un adjoint à gauche, mais ce que j'avais en tête est essentiellement ce que décrit Maxtimax 

@Maxtimax : Merci pour ta réponse, je vais travailler les détails pour être sûr de bien tout comprendre. Mais je suis surpris que ce morphisme soit toujours injectif !

GaBuZoMeu

La "construction universelle" de Maxtimax n'est autre que la construction d'un adjoint à gauche : quelle est la propriété universelle de cette construction universelle ?

Maxtimax

Seirios : j'ai été surpris aussi :-D j'essayais de construire "le contre-exemple évident", puis je me suis rendu compte que ça ne marchait pas. À voir si je n'ai pas fait d'erreur dans mon message plus haut, mais ça ne m'avait pas l'air débile comme argument.