Variable aléatoire

OShine

Bonjour
Je traite le sujet CCP 2018 MP. J'ai réussi facilement l'exercice 1 sur la projection orthogonale (très proche du cours). Je passe à l'exercice 2, étant plus faible en probabilités, je sollicite vos avis. Le rapport dit que l'exercice 2 est facile. 
Pour $Q4$, je ne suis pas sûr.
On a $\dfrac{ n (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{n \times n \times \cdots n} \sim \dfrac{ n^k}{n^k}=1$
Donc $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{ n (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{n \times n \times \cdots n} =1}$
On a $P(X_n =k)=\displaystyle\binom{n}{k}   \dfrac{\lambda ^k} {n^k} (1- \dfrac{\lambda ^k} {n^k})^{n-k} $
Or $\displaystyle\binom{n}{k}=\dfrac {n!}{ k! (n-k)!}=\dfrac{ n (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{k!}$
Donc $P(X_n =k) \sim  \dfrac{\lambda ^k} {k!} (1- \dfrac{\lambda ^k} {n^k})^{n-k} $
Je bloque ici.

JLapin

Et pourquoi tu bloques ici ?

OShine

J'ai trouvé l'équivalent $P(X_n =k) \sim  \dfrac{\lambda ^k} {k!} (1- \dfrac{\lambda ^k} {n^k})^{n-k} $ ce qui me bloquait c'était le $(1- \dfrac{\lambda ^k} {n^k})^{n-k}$ à cause de la puissance qui dépend de $n$ mais je vais tenter d'utiliser la formule $x^a= \exp (a \ln x)$.

raoul.S

C'est $P(X_n =k)=\displaystyle\binom{n}{k}   \dfrac{\lambda ^k} {n^k} (1- \dfrac{\lambda} {n})^{n-k}$... tu ne risques pas de trouver autrement.

OShine

Merci en effet j'ai écrit une coquille en allant trop vite.

Dom

Juste pour savoir… OShine, pourquoi on a l’équivalent $n^k$ au numérateur ?

Si c’est parce que l’on a $k$ facteurs ça donnerait $n^n$ pour $n!$…

As-tu un argument ?

OShine

On a $P(X_n =k) \sim  \dfrac{\lambda ^k} {k!} (1- \dfrac{\lambda } {n})^{n-k} $
Or $(1- \dfrac{\lambda } {n})^{n-k} = \exp  ( (n-k) \ln (1- \dfrac{\lambda } {n}) )$
$k$ est fixé.
Au voisinage de plus l'infini, on a $n >k$ soit $n-k >0$ et comme $0 < \lambda <1$ alors $0 < \lambda /n < 1/n <1$ donc $\ln (1- \dfrac{\lambda } {n})<0$.
Si deux suites sont équivalentes et que l'une admet une limite finie, alors elles tendent vers la même limite.
Finalement $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} P(X_n =k) =0}$

raoul.S

La limite de $ \exp  ( (n-k) \ln (1- \dfrac{\lambda } {n}) )$ lorsque $n\to +\infty$ n'est pas 0...

OShine

@Dom $n(n-1) \cdots (n-k+1)= (n-0) (n-1) \cdots (n- (k-1))$ il y a donc $k-1+1=k$ termes au numérateur.

@raoul.S on a $-1/n < - \lambda/ n <0$ donc $1-1/n< 1- \lambda/n <1$ donc $\ln(1- \lambda/n) <0$ et comme $n-k$ tend vers plus l'infini, on se ramène à la limite de l'exponentielle en moins l'infini c'est donc $0$.

JLapin

@OShine

C'était bien tenté. Voici la bonne réponse.

OShine

Dommage de donner la réponse directement, surtout que je n'ai pas trouvé mon erreur dans mon calcul.

raoul.S

OShine a dit :

donc $\ln(1- \lambda/n) <0$ et comme $n-k$ tend vers plus l'infini, on se ramène à la limite de l'exponentielle en moins l'infini c'est donc $0$.

L'erreur elle est là. Car $\ln(1- \lambda/n) <0$ ne reste pas gentiment constant, il dépend de $n$ et lorsque $n$ tend vers l'infini $\ln(1- \lambda/n)$ tend vers $\ln(1)=0$. Et comme $n-k$ tend vers $+\infty$ tu te retrouves avec une forme indéterminée $+\infty \cdot 0$ dans l'exponentielle.

JLapin

OShine a dit :

Dommage de donner la réponse directement.

Je n'ai pas donné directement la réponse : je l'ai donnée après une tentative écrite de ta part.

Quand un élève fait une faute dans un devoir, tu lui laisses une seconde chance ?

Dom

@OShine  
$n!=(n-0).(n-1)…(n-(n-1))$ « donc »* $n$ facteurs « donc »* équivalent à $n^n$. 

C’est en ce sens que l’argument est faillible.

*les donc sont suspects.

OShine

Dom parce que pour tout i compris entre 0 et k-1 avec k fixé on a n-k équivalent à n.
Il suffit de faire la limite du quotient elle tend vers 1.
Raoul.S ok merci.
JLapin j'aurais dû penser aux équivalents. J'ai fait une erreur de débutant. 

Dom

Ok

OShine

Pour $Q5$, $X_n$ suit une loi binomiale $B(n,p)$ avec $p=1/365$
Donc $E(X_n)= np = \dfrac{n}{365}$
Pour $Q6$ : $n=219 \geq 50$. Or $p=1/365 < 0,01$ et $np= 219/365 <10$. On peut approximer la loi binomiale par la loi de Poisson de paramètre $\lambda=219/365 =0,6$
Donc $P(X_n =2)= e^{-0,6} \dfrac{0,6 ^2}{2!} \approx 0,55 \times \dfrac{0,36}{2} = 0,55 \times 0,18 = 0,099$.
Enfin $\boxed{P(X_n=2) \approx 0,1}$.

bisam

@Oshine : Il est vrai que @JLapin t'a donné la réponse... mais elle est censé être connue. C'est une question de cours !

En tout cas, c'en était une. Désormais, le nouveau programme ne fait plus état de ce théorème précis.

OShine

@bisam ok merci.