Fonctions de répartition d'une va réelle

P.

Il y a la vieille $\Pr(X<x)$ et la neuve $\Pr(X\leq x).$ Ne choisissons pas et prenons $$F_X(x)=\frac{1}{2}(\Pr(X<x)+\Pr(X\leq x)).$$ Montrer alors l'identité de Christian Robert : si $\mathbb{E}(|X|)<\infty$ et $\mathbb{E}(X)=0$ on a $$2\mathbb{E}(XF_X(X))=\int_{-\infty}^{\infty}F_X(t)(1-F_X(t))dt.$$

Calli

Bonjour,
Elle a une drôle de tête cette formule (le membre de droite est invariant par translation mais pas celui de gauche). Il ne faudrait pas supposer $\Bbb E[X]=0$, ou ajouter $\Bbb E[X]$ à droite, ou quelque chose comme ça ?

P.

Oui bien sûr Calli, j'ai modifié, merci.

Calli

Soit $X$ une v.a. telle que $\Bbb E[|X|]<\infty$ (mais avec $\Bbb E[X]$ quelconque). $X$ a un nombre au plus dénombrable d'atomes, donc pour presque tout $x\in \mathbb{R}$, $F_{X} (x)=\mathbb{P}(X\leqslant x)=\mathbb{P}(X<x)$. D'où $$\begin{eqnarray*} \int _{-\infty } ^{\infty } F_{X} (x)(1-F_X(x))\,\mathrm{d}x &=& \int _{\mathbb{R}} \left( \int _{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{y<x} \,\mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (y)\right) \left(  \int _{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{z>x} \,\mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (z)\right) \,\mathrm{d}x\\ &=& \iiint_{\mathbb{R}^{3}} \mathbf{1}_{y<x<z} \mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (y)\,\mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (z)\,\mathrm{d}x\\ &=& \iint_{\mathbb{R}^2 } (z-y) \,\mathbf{1}_{y<z}\,  \mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (y)\,\mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (z) \end{eqnarray*}$$

De plus, $$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[X(2F_{X} (X)-1)] &=& \int _{\mathbb{R}} x (\Bbb P(X<x)+\Bbb P(X\leqslant x)-1) \,\mathrm{d}\mathbb{P}_X(x)\\ &=& \int _{\mathbb{R}} x \left( \int _{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{y<x} \,\mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (y) -\int _{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{y>x} \,\mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (y)\right) \,\mathrm{d}\mathbb{P}_X(x)\\ &=& \iint_{\mathbb{R}^2 } y \,\mathbf{1}_{x<y} \,\mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (x)\,\mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (y) - \iint_{\mathbb{R}^2 } x \,\mathbf{1}_{x<y}  \,\mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (y) \,\mathrm{d}\mathbb{P}_X(x)\\ &=& \iint_{\mathbb{R}^2 } (y-x) \,\mathbf{1}_{x<y}\,  \mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (x)\,\mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (y) \end{eqnarray*}$$ en échangeant $x$ et $y$ dans la première intégrale double. D'où $$\fbox{$\displaystyle  \mathbb{E}[X(2F_{X} (X)-1)] = \int _{-\infty } ^{\infty }F_{X} (x)(1-F_X(x))\,\mathrm{d}x$}$$

Et on retrouve la formule demandée dans le cas particulier où $\Bbb E[X]=0$.

Calli

Remarque : En s'inspirant du calcul de $\mathbb{E}[X(2F_X(X)-1)]$, on trouve aussi $$\mathbb{E}[2F_{X} (X)-1] = \int _{\mathbb{R}} \left( \int _{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{y<x} \,\mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (y) -\int _{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{y>x} \,\mathrm{d}\mathbb{P}_{X} (y)\right) \,\mathrm{d}\mathbb{P}_X(x) = 0$$ (encore en échangeant $x$ et $y$ dans l'intégrale double qui apparaît à gauche) donc $\fbox{$\displaystyle \Bbb E[F_X(X)]=\frac12$}$ (ici l'hypothèse $\Bbb E[|X|]<\infty$ n'est plus nécessaire.).

Calli

Il me semble qu'on peut prouver de la même manière que pour toute fonction $g\in\mathcal{C}^1(\Bbb R,\Bbb R)$ $$\Bbb E[g(X) (2F_X(X)-1)]=\int_{-\infty}^\infty F_X(x)(1-F_X(x))\,g'(x)\,\mathrm{d}x$$ lorsque les intégrales qu'on écrit font sens.

Renart

Ces formules me font beaucoup penser au principe de Cavalieri, mais je ne suis pas aller vérifier si c'était vraiment relié.

P.

Merci Calli, ma démonstration est la même, moins l'extension à $E(X)\neq 0$. Pas encore vérifié celle avec $g(t)$. Renart, pas pu ouvrir le lien, mais 'Cavalieri' et le principe des indéfiniment divisibles reliés à la formule du fil me laissent perplexe pour l'instant.

Renart

Le principe de Cavalieri auquel je fais référence est le suivant :

\[ \int_\Omega g(f(x)) \mathrm d x = \int_{\R^+} g'(x) \lambda\{f>x\} \mathrm d x \]

avec $g : \R_+ \to \R_+$ une fonction $C^1$ et $f : \Omega \to \R_+$ une fonction mesurable.  Quant à savoir si on peut vraiment appeler ça "principe de Cavalieri" et le relier à la méthode des indivisibles... c'est une autre question. Mais ce n'est pas moi qui ait choisi ce nom