Entiers de $\Bbb Q[\sqrt2,\sqrt{11}]$
dans Arithmétique
L'anneau des entiers de $\Bbb Q[\sqrt2,\sqrt{11}]$ admet pour $\Bbb Z$ base
$1,\;\sqrt2,\;\sqrt{11},\;\frac{\sqrt2(1+\sqrt{11})}2$
Pour pouvoir appliquer un théorème sur la décomposition des premier $p$ j'ai besoin de l'écrire sous la forme $\Bbb Z[\alpha]$
Je n'y parviens pas !
J'avais essayé avec $\Bbb Q[\sqrt2,\sqrt{3}]$ où ill n'y a aucun problème par un effet du hasard $\alpha =\frac{\sqrt2(1+\sqrt{3})}2$ fonctionnant à merveille. Mais là, avec 11 et si je n'ai pas fait d'erreurs de calcul, j'ai sans arrêts des dénominateurs affreux.
Quelqu'un peut-il me débloquer ?
Et d'ailleurs : existe-t-il une façon de passer d'une $\Bbb Z$ base à un élément générique ?
Merci
$1,\;\sqrt2,\;\sqrt{11},\;\frac{\sqrt2(1+\sqrt{11})}2$
Pour pouvoir appliquer un théorème sur la décomposition des premier $p$ j'ai besoin de l'écrire sous la forme $\Bbb Z[\alpha]$
Je n'y parviens pas !
J'avais essayé avec $\Bbb Q[\sqrt2,\sqrt{3}]$ où ill n'y a aucun problème par un effet du hasard $\alpha =\frac{\sqrt2(1+\sqrt{3})}2$ fonctionnant à merveille. Mais là, avec 11 et si je n'ai pas fait d'erreurs de calcul, j'ai sans arrêts des dénominateurs affreux.
Quelqu'un peut-il me débloquer ?
Et d'ailleurs : existe-t-il une façon de passer d'une $\Bbb Z$ base à un élément générique ?
Merci
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Réponses
En tout cas, en notant $\alpha=\dfrac{\sqrt2(1+\sqrt{11})}2$, je n'ai pas mieux que $\mathcal O_K=\mathbb Z[\sqrt 2,\alpha]$.
avec deux idéaux premiers (ici des diviseurs de 7) et dont les localisés soient tout les deux égaux à $\Bbb K$.
J'ai pris 2 et 11 pour avoir des carrés modulo 7 de sorte que $(K_1)_{\frak p_1}=\Bbb Q_7=(K_2)_{\frak p_2}$; je comptais décomposer 7 dans $\Bbb Q[\sqrt2,\sqrt{11}]$ prendre un diviseur $\frak P$ puis trouver $\frak p_1,\frak p_2$ au dessus de $\frak P$.
Donc d'après joaopa je peux directement avec $\alpha=\sqrt2+\sqrt{11}$ ...
pour ma part j'ai travaillé avec la $\Bbb Z$ base de K.S. Williams $[1,\sqrt2,\sqrt{11},\alpha]$ (je note entre crochet les $\Bbb Z$- modules) où
$\alpha={\sqrt2(1+\sqrt{11})\over2}$.
On a alors $\alpha²=6+\sqrt{11}$ et $\alpha^3-7\alpha=5\sqrt2$ de sorte que $\Bbb Z[\alpha]=[1,\alpha,\alpha²,\alpha^3]=[1,5\sqrt2,\sqrt{11},\alpha]$
du coup si je ne dis pas de bêtises $[\cal O:\Bbb Z[\alpha]]=5$.
En plus, le conducteur vaut-il bien 5 ?
Ensuite, dans $K_1=\Bbb Q[\sqrt2]$ on a $<7>=<2\sqrt2-1><2\sqrt2+1>$.
Puis, j'ai eu l'idée de revenir au $\Bbb Z$-base pour manipuler les idéaux.
Je ne sais pas comment vous, vous faites mais comme je fais tout tout seul je fais ce que je peux avec mes moyens !
Donc :
$<2\sqrt2+1>=(2\sqrt2+1)\cal O_1$ où $\cal O_1=\Bbb Z[\sqrt2]=[1,\sqrt2]$ et par conséquent $<2\sqrt2+1>=[2\sqrt2+1,\sqrt2+4]=[7,\sqrt2+4}$
Dans $K_2=\Bbb Q[\sqrt{11}]$, $<7>=<\sqrt{11}+2><\sqrt{11}-2>$, $O_2=\Bbb Z[\sqrt{11}]=[1,\sqrt{11}]$ d'où
$<\sqrt{11}-2>=[\sqrt{11}-2,2\sqrt{11}-11]=[\sqrt{11}-2,7]$ puisque $2\sqrt{11}-11=2(\sqrt{11}-2)-7$
Dans $K=\Bbb Q[\sqrt2,\sqrt{11}]$ le polynôme minimal de $\alpha$ est $(X²-6)²-11$ qui se factorise modulo 7 en $(X-1)(X+1)(X-2)(X+2)$ (normal c'est pour ça que j'ai choisi 2 et 11 ! Pour avoir des carrés mod 7)
Et maintenant je regarde au dessus de qui se trouve par exemple $I_1=<7,\alpha-1>$.
Là encore au risque de faire bourrin je retourne à ma $ \Bbb Z-$base pour obtenir une $\Bbb Z$-pas-base-du-tout mais génératrice.
$I_1=7\cal O+(\alpha-1)\cal O=[7,7\sqrt2,7\sqrt{11},7\alpha,\alpha-1,1+\sqrt{11}-\sqrt2,5\sqrt2-\sqrt{11}+1,\alpha²-\alpha]$
où j'ai utilisé $(\alpha-1)((\sqrt{11}-1)$ au lieu de $\sqrt{11}$ car ça simplifie notablement les choses;
$\alpha²-\alpha=\sqrt{11}+6-\alpha=\sqrt{11}+5-(\alpha-1)$ et $5=7-2$ d'où
$[7,\alpha-1,\alpha²-\alpha]=[7,\alpha-1,\sqrt{11}-2]$
$5\sqrt2-\sqrt{11}+1=7\sqrt2-(2\sqrt2+\sqrt{11}-1)$ donc
$[7\sqrt2,5\sqrt2-\sqrt{11}+1]=[7\sqrt2,2\sqrt2+\sqrt{11}-1]$ et par conséquent puisque $7\alpha=7(\alpha-1)+7$
$I_1=[7,7\sqrt2,7\sqrt{11},\alpha-1,\sqrt{11}-\sqrt2+1,2\sqrt2+\sqrt{11}-1,\sqrt{11}-2]$: puis
$7\sqrt{11}=7(\sqrt{11}-2)+14$, $[2\sqrt2+\sqrt{11}-1,\sqrt{11}-2]=[2\sqrt2+1,\sqrt{11}-2]$ et pour finir en
beauté $\sqrt2-\sqrt{11}-1=\sqrt2-3-(\sqrt{11}-2)=\sqrt2+4-7-(\sqrt{11}-2)$
Et (ouf !)
$I_1=[7,7\sqrt2,\alpha-1,\sqrt2+4,2\sqrt2+1,\sqrt{11}-2](=[7,\alpha-1,\sqrt2+4,\sqrt{11}-2]$ se trouve donc au dessus de $\frak p_1=<2\sqrt2+1>$ dans $K_1$
et au-dessus de $\frak p_2=[7,\sqrt{11}-2]$ dans $K_2$.
Pour répondre à ma question d'origine, j'ai donc
$\Bbb K_{I_1}=\Bbb Q_7[\sqrt2,\sqrt{11}]=\Bbb Q_7$ puisque $2$ et $11$ sont des carrés mod 7.
$(K_1)_{\frak p_1}=\Bbb Q_7[\sqrt2]=\Bbb Q_7=\Bbb Q_7[\sqrt{11}]=(K_2)_{\frak p_2}$.
Et je trouve que ça fait un bon exercice pour les professeurs de théorie des nombres !