Un exercice d'entiers

PG

Bonjour,

m et n désignent des entiers naturels non nuls.
On pose k=(m*n)/(m+n) la moitié de la moyenne harmonique de m et n.

Question 1. À quelle(s) condition(s) sur les entiers m et n le nombre k est-il entier ?
Question 2. La question 1 peut-elle selon vous se traiter en terminale ?
Le joli tableau en PJ peut-il amorcer une recherche en terminale ?
Cordialement.

PG

gai requin

$\renewcommand{\gcd}{\operatorname{pgcd}}$On peut montrer que $(m,n)$ est solution ssi $m+n$ divise $d^2$, où $d=\gcd(m,n)$.
En particulier, $m\geq 2,n\geq 2$ et, pour tout $m\geq 2$, le nombre de $n$ tels que $(m,n)$ soit solution est fini.

Exemple : $m=10$
Comme $d^2\geq 12$, on a $d=5$ ou $10$.
Si $d=5$, alors $2+n/5$ divise $5$ donc $n=15$.
Si $d=10$, alors $1+n/10$ divise $10$ donc $n\in\{10,40,90\}$.
Les solutions avec $m=10$ sont donc $(10,10),(10,15),(10,40),(10,90)$.

A partir de cet exemple, on peut écrire un script python avec $m$ en entrée et la liste des couples $(m,n)$ solutions en sortie.
Possible en Terminale, voire sympa

marco

Il y a aussi une paramétrisation $m=\lambda m'(m'+n')$ et $n=\lambda n'(m'+n')$ avec $\lambda, m',n' \in \N^*$.

gai requin

Oui marco.
Comme on a fait la même chose, tu pourrais même rajouter $\gcd(m',n')=1$.

PG

Bonjour à tous,

@gai requin, @marco, merci pour vos éclairages et propositions.
Je vais transmettre aux collègues encore en activité qui m'ont soumis le problème.
Puissent-ils en faire bon usage auprès de leurs élèves de terminale.

Peut-être y aura-t-il d'autres propositions sur le forum ?
Cordialement.
PG

gai requin

Le code Python que j'évoquais dans mon premier message :

def H(m):
    import math
    D=math.floor(math.sqrt(m+2))
    S=[]
    for d in range(D,m+1):
        if m%d==0:
            M=m//d
            for N in range(1,d+1-M):
                if d%(N+M)==0 and math.gcd(N,M)==1:
                    S.append((m,N*d))
    return S

Par exemple,

>>> H(20)
[(20, 5), (20, 30), (20, 20), (20, 60), (20, 80), (20, 180), (20, 380)]

PG

@gai requin,
Ce code, voilà qui convient pour la spécialité ISN!
Peut-être pour la spé maths aussi, s'ils ont le temps!
PG

gai requin

Oui, mais en spé maths ou NSI, on ne fait pas d'arithmétique.
Cet exo s'adresse aux maths expertes qui eux en font et qui sont forcément en spé maths donc qui codent en Python.

Les joies de la réforme !

On peut rajouter une question à ton exo : donner les solutions $(m,n)$ quand $m$ est la puissance d'un premier $p$.

PG

@gai requin,
En retraite, ces subtilités sur les contenus des programmes de maths spécialité, expertes, NSI m'échappent quelque peu!
Je croyais que tous les élèves concernés faisaient un peu d'arithmétique....
Enfin je pense que ce que tu as fourni va déjà donner du grain à moudre.
Merci encore.
Cordialement.
PG