Exemple spécial de corps local
Bonjour
On a cet exemple : $K_1=\Bbb Q[\sqrt2]$ et $K_2=\Bbb Q[\sqrt3]$ sont denses dans $\Bbb R$ et leur complété pour la place infinie est bien $\Bbb R$.
Je cherche un exemple "algébrique", à savoir :
Un corps local $\Bbb K$ contenant deux sous-corps $K_1,K_2$ denses avec deux places finies $\frak p_1,\frak p_2$ et tels que les localisés complétés
Merci.
On a cet exemple : $K_1=\Bbb Q[\sqrt2]$ et $K_2=\Bbb Q[\sqrt3]$ sont denses dans $\Bbb R$ et leur complété pour la place infinie est bien $\Bbb R$.
Je cherche un exemple "algébrique", à savoir :
Un corps local $\Bbb K$ contenant deux sous-corps $K_1,K_2$ denses avec deux places finies $\frak p_1,\frak p_2$ et tels que les localisés complétés
$(\Bbb K_1)_{\frak p_1}$ et $(\Bbb K_2)_{\frak p_2}$ soit tous les deux égaux à $\Bbb K$.
Je n'arrive pas à fabriquer un exemple avec une extension de $\Bbb Q$. Mes complétés locaux sont toujours des sous-corps de celui d'où je suis parti. Je n'arrive jamais à obtenir le même.
Pour info, l'origine de la question est un lemme de compatibilité à propos de l'application "norme résiduelle" où l'on fait l'hypothèse directe de l'existence de deux corps $K_1,K_2$ ayant le même complété et j'insiste : le même ! Pas des isomorphes ! Sinon il y a un contrexemple. Le résultat final disant que "ça" ne dépend que du corps local et non de la façon dont on l'obtient.Merci.
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Réponses
En fait j'ai tellement l'habitude de lire des exemples avec des extensions quadratiques pour lesquelles il y a un problème que j'en avais oublié les cubiques ;
En fait le $\Bbb K$ est la donnée de départ ! On part d'un corps local que l'on représente comme un localisé et il s'agit de prouver que le symbole que l'on a construit (un reste normique) ne dépend pas de des corps $K_1,K_2$ et des places introduites pour "fabriquer" $\Bbb K$
Je cherche à fabriquer un exemple avec un corps biquadratique mais j'ai un souci. Je vais poster la-dessus