Six coniques particulières ... et trois de plus !

jelobreuil

Bonne nuit à tous,

Je propose à la contemplation de chacun la figure ci-dessous, à laquelle je trouve un certain cachet artistique ...

Soit un triangle $ABC$, $A_1$, $B_1$ et $C_1$ les milieux respectifs de $BC$, $CA$ et $AB$, $G$ le centre de gravité de $ABC$, $A_2$, $B_2$ et $C_2$ les milieux respectifs de $AG$, $BG$ et $CG$, et $G_A$, $G_B$ et $G_C$ les centres de gravité des triangles $GBC$, $GCA$ et $GAB$.

Les six coniques passant chacune par cinq des six derniers points définis se répartissent en trois ellipses et trois paraboles, toutes dotées de caractéristiques intéressantes :
- les trois ellipses, qui passent par les trois centres de gravité et deux des trois milieux, sont tangentes chacune aux deux côtés du triangle de base adjacents à l'angle dans lequel se trouve le troisième milieu ;
- les points de tangence de ces ellipses (indices 4 et 5 sur ma figure) sont équidistants des milieux des côtés du triangle de base (par exemple, $B_1B_4 = B_1B_5$) ;
- les trois paraboles, qui passent par les trois milieux et deux des trois centres de gravité, ont des axes qui sont, me semble-t-il, parallèles chacun à une médiane du triangle de base, celle sur laquelle se trouve le troisième centre de gravité ;
- les tangentes à ces paraboles en les points milieux (indice 2 sur ma figure) passent chacune par deux des points de tangence des ellipses, et forment un triangle $A_3B_3C_3$ isométrique de $ABC$, image de celui-ci dans la symétrie par rapport au point $G$.

Voyez-vous autre chose ?
Bien cordialement, JLB

fm_31

Bonjour ,
et 3 ellipses isométriques .
Cordialement

jelobreuil

Merci, fm_31, je n'avais vu ni ces trois ellipses, ni cet hexagone !
Par contre, j'ai oublié de le signaler : les trois ellipses de ma figure ont la même aire, elles aussi ...

Une question qui me vient à l'esprit : quelle fraction de l'aire du triangle de base représente la réunion de ces trois ellipses ?
Les aires des quadrilatères mixtes $AC_4A_2B_5$, $BA_4B_2C_5$ et $CB_4C_2A_5$ sont-elles égales ? Si oui, ceci signifierait qu'il en est de même pour les "bisegments elliptiques" $A_4B_2C_5B_2A_4$, $B_4C_2A_5C_2B_4$ et $C_4A_2B_5A_2C_4$ ...
Bien cordialement, JLB

fm_31

Autre particularité : l'aire de chacune des ellipses vertes (superposables) est les 4/9 de l'aire de l'ellipse de Steiner du triangle ABC .
Les ellipses rouge ont aussi un rapport constant avec l'aire de l'ellipse de Steiner (0,636037...) mais je n'arrive pas à le mettre sous une forme simplifiée .
Je pense que    $0,636037... = \dfrac{8² \;\sqrt{5}}{3²\; 5²}$

jelobreuil

Bonsoir à tous !

Une petite remontée, à l'attention de qui voudra ...

bien cordialement JLB