Agreg concours externe spécial

totem

Bonjour,

pour l'exercice 2 : https://media.devenirenseignant.gouv.fr/file/agreg_externe_speciale/67/8/s2022_agreg_externe_spec_math_1424678.pdf

Pour la question $3.b.$, peut-on affirmer que l'équation différentielle admet une solution unique et que pout tout $x \in R^+ f(x)=g(x)$ ?

Je suppose que oui puisque ça marche    mais je ne sais pas le justifier.

Merci. 

Renart

De quelle équation différentielle $(E)$ la fonction $f-g$ est-elle solution ? Parmi les solutions de $(E)$, quelles sont celles qui admettent une limite en $+\infty $ ?

Au passage, l'équation différentielle n'admet pas de solution unique, l'ensemble des solutions est un sous-espace affine de dimension 2.

bisam

Je donne cet exercice 2 comme exo de colles à mes élèves... mais en le détaillant moins que ça.

Il est d'ailleurs tombé plusieurs fois aux oraux des concours.

totem

@Renart : Je ne sais pas de quelle équation $f-g$ est solution.   

Renart

@totem Tu injectes $f$ dans l'edo dont elle est solution. Tu fais pareil avec $g$. Tu soustrais les deux, qu'est-ce que ça donne ?

Mais si tu ne vois pas ça par toi même il te serait sans doute plus profitable d'aller d'abord lire un cours sur les équations différentielles (le cas linéaire suffit ici).

totem

@Renart: et bien cela fait $0$ ...?

Ah ok $f-g$ est solution de $y"+y=0$   donc $(f-g) (x)=\lambda \cos(x)+\mu \sin(x)$ donc $f(x)=g(x) +\lambda \cos(x)+ \mu \sin(x)$

bisam

En rajoutant les quantificateurs nécessaires aux bons endroits, c'est effectivement cela.

totem

@bisam : ok merci. 

Par contre  le fait que $f$ et $g$ tendent vers $0$ en $+\infty$ implique $\lambda=\mu=0$ ?

JLapin

Oui, sauf chez l'un des contributeurs du forum qui pense que $\cos(x)\to 0$ quand $x\to +\infty$.

totem

@JLapin: ne serait-ce pas Jean Lismonde et sa convergence explosive  par hasard...? 

JLapin

Oui