Le groupe du Rubik’s cube ours (1×2×3)

nicolas.patrois

J’ai acheté cet ours il y a longtemps maintenant, j’en ai trouvé au troc et puces une autre version, offerte chez un marchand de malbouffe.

Évidemment, je me suis demandé quelle était la structure du groupe sous-jacent, si on fixe par exemple la pièce avec Rubik’s écrit dessus.

Il est clair que c’est le groupe de permutations engendré par les trois permutations $s_1=(1 2), s_2=(3 4), s_3=(2 3)(5 6)$ ; où 1 est la partie à sa gauche de la tête, 2 l’autre côté, 3 son pied droit et 4 son pied gauche. 5 et 6 désignent les deux faces de la partie de son ventre qui tourne.

On devine un $\mathfrak{S}_4$ là-dedans, avec un $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ en plus. Mais le produit est direct ou non ?

Direct. En effet, $s_4=(s_1 s_3)^3=(5 6)$ retourne seulement le ventre, et commute avec toutes les autres permutations.

Chose amusante, c’est donc isomorphe au groupe des isométries du cube. Yapuka trouver un isomorphisme explicite.

AD

Bonjour Nicolas

Quels sont les mouvements possibles ?

Avec tes notations il y a $(1\,2)$, $(3\,4)$ et $(5\,6)$ qui à eux trois engendrent un $C_2^{\,3}$.

Mais quel est le rôle de la séparation verticale ? Quelles permutations supplémentaires permet-elle ?

Alain

nicolas.patrois

La séparation verticale permet de retourner la partie à notre gauche, celle qui donne $(2 3)(5 6)$.

AD

Ah OK, mais après chaque manipulation l'ours est complètement désarticulé.

La séparation verticale permet de retourner la partie gauche donc la permutation $(1\,3)$, ou bien la partie droite $(2\,4)$, avec tes notations ?

Position initiale : $\begin{array}{cc}1&2\\5&6\\3&4\end{array}$. Retournement de la partie gauche : $\begin{array}{cc}3&2\\5&6\\1&4\end{array}$, soit la permutation $(1\,3)$.

Ou alors je n'ai pas compris les mouvements ...

Alain

Dom

Je pense que c’est ça. 

L’oreille droite est échangée avec le pied droit avec une rotation. Dans la partie centrale, la clavicule droite s’échange avec l’iliaque droit. 

On voudrait dire que le 5 « est retourné ». 

nicolas.patrois

En effet, $(5 6)$ signale le retournement du ventre en dos et vice et versa (destituées), alors que $(1 2 3 4)$ indique une permutation circulaire des pièces de la tête et des pieds.

bisam

@AD : Tu sembles avoir mal interprété les notations de @nicolas.patrois .

Comme le "ventre droit" est supposé fixe, il n'est pas numéroté.

En revanche, le "ventre gauche" est numéroté différemment sur chacune de ses faces, pour tenir compte de son orientation.
Les 4 autres pièces possèdent juste un numéro car leur orientation dépend uniquement de leur position.

Quant à trouver l'isomorphisme cherché, il faudrait sans doute commencer par chercher un élément d'ordre 4 faisant office de "quart de tour".
Il me semble que $r=s_1s_3s_2=(1\,2\,3\,4)(5\,6)$ convient.
Ensuite, je n'arrive plus à retrouver une présentation de ce groupe qui soit sympathique. Je crois qu'il faut un élément d'ordre 6 et une bonne relation... mais pas moyen de remettre la main sur mon cours d'agreg à ce sujet.

Philippe Malot

Pour les curieux, voilà une vidéo de l’ours en train d’être manipulé.
https://youtu.be/iSTi9kRiU1c

nicolas.patrois

Comme présentation, j’avais trouvé :

$a$, $b$, $c$ tels que $a^2=b^2=c^2=1$, $ac=ca$, $(ab)^6=(cb)^6=1$ ($a$ est le demi-tour de la tête, $c$, le demi-tour des pieds et $b$ le demi-tour du corps).

Math Coss

Je parie contre ta présentation. Celle-ci décrit un groupe de Coxeter notoirement infini (diagramme : $\xymatrix{\bullet\ar@{-}[r]^6&\bullet\ar@{-}[r]^6&\bullet}$). (Ce serait le groupe engendré par les réflexions par rapport aux côtés d'un triangle dont les angles sont $30^\circ$, $30^\circ$, $90^\circ$ qui vit manifestement dans un plan hyperbolique. En clair, il manque des relations.)

D'ailleurs Sage n'arrive même pas à dire s'il est fini, sans dire qu'il a pour cardinal $24$ ou, du moins, moins de $6!$.

sage: F. = FreeGroup()
sage: G = F / [a^2, b^2, c^2, (a*c)^2, (a*b)^6, (c*b)^6]
sage: G
Finitely presented group < a, b, c | a^2, b^2, c^2, (a*c)^2, (a*b)^6, (c*b)^6 >
sage: G.is_finite()
#I  Coset table calculation failed -- trying with bigger table limit
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