Connexité

iotala

Bonjour,
j'ai un peu de mal pour l'exercice ci dessous. La question 1 semble tellement évidente pourtant mais je n'arrive pas à conclure. Un petit coup de pouce ?

GaBuZoMeu

Bonjour,

Le seul problème pour vérifier la continuité de $g$ est sur la frontière de $A$. Et là, il suffit d'appliquer la définition de continuité et le fait que $f$ est continue sur $A$.

iotala

Puisque A est un fermé, je ne peux pas dire que \( Fr(A) \subset A \) et donc \( A = \bar{A} \). Puisque la [fonction] $g$ est continue sur $A$, elle est donc continue sur \(Fr(A)\) ?

Une fois que j'ai prouvé que la fonction est continue sur \( Fr(A) \), c'est suffisant ? Je n'ai pas besoin d'un équivalent de la limite à gauche=limite à droite=$f(a)$ ?

JLapin

Non, tu ne peux pas raisonner ainsi.

En général, le fait que la restriction de $f$ à $A$ soit continue n'implique pas que $f$ est continue en tout point de $A$.

Considère un point $a$ sur la frontière de $A$ puis un $\varepsilon>0$. Utilise le $\eta>0$ de la continuité de $f_{|A}$ en $a$ et vérifie la définition.

iotala

Je suis un peu surpris. Il me semble que par définition si une fonction est continue sur un ensemble, elle est continue en chacun de ses points ? Est-ce le fait que ce soit une restriction qui change la donne ?

Je vais travailler avec la définition de la continuité comme recommandé.

JLapin

Regarde la fonction qui vaut 1 sur $\R_+$ et $0$ sur $\R_-^*$.

C'est une fonction discontinue en $0$.

Pourtant, sa restriction à $\R_+$ est une fonction constante donc en particulier continue en $0$.

Note que $\{0\}$ est précisément la frontière du fermé $\R_+$ mais que la contrainte $g(x)=k$ pour $x\in B$ imposée par l'énoncé n'est pas satisfaite ici...

iotala

FInalement dois-je uniquement prouver qu'elle est continue sur  \(Fr(A)\) ou bien sur  \(Fr(A) \cup B \)  ? Si je me réfère à ton exemple, il me semble que c'est le deuxième ensemble qui doit permettre le "raccordement" ??

J'ai écrit la démo suivante mais j'ai l'impression qu'il manque quelque chose.

Pour tout points $a,y \in Fr(A)$, on a $g(a)=g(y)=k$ soit $|g(a)-g(y)|=0$.
On en déduit alors pour $a\in Fr(A),\ \forall \epsilon>0,\ \exists \eta>0,\ \forall y \in Fr(A),\ d(a,y) <\eta \implies |g(a)-g(y)|=0 < \epsilon$
La fonction $g$ est continue sur $Fr(A)$ et a pour valeur $k$,  elle est donc continue sur $\bar{A}$. Par conséquent elle est continue sur $E$. 

iotala

Cette fois, j'ai compris.

Soit $a$ un point de $Fr(A)$, il vient alors

•  Pour tout $y$ de $A$, il vient $ \forall \varepsilon>0,\ \exists \eta>0,\ d(a,y) < \eta \implies |f(a)-f(y)| < \varepsilon$ par continuité de la fonction $g$ sur $\bar{A}=A$.
•  Pour tout $y'$ de $B$, on a $f(y')=f(a)=k$ soit $f(a)-f(y')=0$, il vient $ \forall \varepsilon>0,\ \exists \eta>0,\ d(a,y') < \eta \implies |f(a)-f(y')|=0 < \varepsilon$
• On en déduit $\forall \epsilon>0,\ \exists \eta>0,\ \forall y \in A\cup B=E,\ d(a,y) <\eta \implies |g(a)-g(y)| < \epsilon$, $g$ est donc continue sur $Fr(A)$.

$g$ étant continue sur $A$, sur $B$ et sur $Fr(A)$ on en déduit que $g$ est continue sur $E$.

JLapin

Il y a un problème d'ordre d'apparition des variables dans ton premier point.

Le $\forall y$ devrait venir après le $\exists \eta$.

Sinon, ça semble ok.

iotala

Merci beaucoup.

Concernant la question 2, je serai très tenté d'utiliser la connexité par arcs qui permettrait une démonstration facile, mais je ne vois comment la sortir. Je ne vois pas non plus ce que m'apporte le fait que $E$ et $Fr(A)$ soient connexes ?

Une petit coup de pouce ?

raoul.S

Il faut utiliser la question 1) ainsi que la caractérisation suivante des connexes (tu devrais la connaître normalement) : $A$ est connexe ssi toute fonction continue $f:A\to \{0,1\}$ est constante. Ici $\{0,1\}$ est muni de la topologie discrète.

PS. pas de connexité par arcs ici.

iotala

J'ai très envie de dire que puisque E est connexe, toute fonction continue de E vers $\{0,1\}$ est constante, donc la restriction de f à A est aussi constante, donc A connexe. Mais je sens qu'il y a un problème.

De plus, je n'utilise pas la Frontière et cela me ferme la porte pour la question 3.

I am lost

JLapin

Soit $f$ une fonction continue et non constante sur $A$ prenant les valeurs 0 et 1.

Sa restriction à fr(A) est encore continue, à valeurs dans $\{0,1\}$, et comme fr(A) est supposé connexe ....

Ensuite tu peux utiliser la question 1 pour trouver une absurdité.

iotala

Je tiens à signaler que j'ai effectivement posté une demande d'aide pour le même exercice sur un autre site, message clôturé. La raison est que j'ai l'impression de me sentir stupide et d'être limite harceleur de ne pas réussir à comprendre un détail qui je le sens est très simple mais qui me bloque totalement. Cela fait plusieurs jours que je suis dessus et c'est très frustrant de se sentir si près du but et de ne pas réussir à franchir le dernier obstacle. J'ai donc voulu paraître moins stupide en tentant de poster le message sur un autre forum. Je suis désolé si cela a choqué certains d'entre vous, je ne souhaitais pas manquer de respect à tous ceux qui m'ont aidé.

GaBuZoMeu

JLapin t'a pratiquement tout dit.

Je te le redis, sous une autre forme (un raisonnement direct plutôt que par l'absurde).

Soit  $f$ une fonction continue de $A$ dans $\{0,1\}$.

1°) Que peux tu dire de la restriction de $f$ à la frontière de $A$, sachant que cette dernière est connexe ?

2°) Vois-tu alors comment utiliser la question 1, et l'hypothèse que $E$ est connexe ?

iotala

Cette fois ci je l'ai. Ouf, la lumière a mis du temps à s'allumer, merci à tous de votre patience.

 Supposons qu'il existe une fonction continue $h:A \to \{0,1\}$ non constante. $A$ étant un fermé, la restriction de $h$ sur $Fr(A)$ est continue. Or $Fr(A)$ étant connexe, on en déduit que $h_{|Fr(A)}$ est constante de valeur $k$.
Soit $\phi:E \to \{0,1\}$ une fonction définie par $\phi(x)=h(x)$ si $x \in A$ et $\phi(x) = k$ si $x\in B$.
On en déduit alors d'après la question 1 que $\phi$ est continue sur $E$. Or $E$ étant connexe, on en déduit que $\phi$ est constante pour tout $x$ de $E$, donc de valeur $k$. En particulier $\phi_{|A}=h$ est constante sur $A$, ce qui est contradictoire avec le fait que $h$ est non constante.
On en déduit que qu'il n'existe pas de fonction continue $h:A \to \{0,1\}$ non constante sur $A$, donc $A$ est connexe.

GaBuZoMeu

Le passage par l'absurde (supposer $h$ non constante pour arriver à une contradiction) est totalement inutile : tu as montré que toute fonction continue de $A$ dans $\{0,1\}$ est constante, donc $A$ est connexe.

iotala

Merci beaucoup

raoul.S

Juste une dernière remarque. Lorsque tu dis : A étant un fermé, la restriction de h sur $Fr(A)$ est continue. Le fait que $A$ soit fermé n'a rien à voir. La restriction de h à $Fr(A)$ est continue car $h$ est continue.

Edit : je n'ai pas fait attention au fait que la frontière est dans $A$ car $A$ est fermé... (voir remarque de GaBuZoMeu ci-dessous).

GaBuZoMeu

Le fait que $A$ soit fermé a à voir avec le fait que la frontière de $A$ soit contenue dans $A$ et donc qu'on puisse restreindre $h$ à la frontière de $A$.

JLapin

raoul.S a dit :

Juste une dernière remarque. Lorsque tu dis : A étant un fermé, la restriction de h sur $Fr(A)$ est continue. Le fait que $A$ soit fermé n'a rien à voir. La restriction de h à $Fr(A)$ est continue car $h$ est continue.

Edit : je n'ai pas fait attention au fait que la frontière est dans $A$ car $A$ est fermé... (voir remarque de GaBuZoMeu ci-dessous).

Amusant : j'ai démarré l'écriture du même message mais j'ai eu le temps de ne pas l'envoyer

raoul.S

Oui les personnes qui "passent" avant nous sont utiles des fois. Je me souviens qu'à un oral la personne qui passait avant moi au tableau était en train de se faire cuisiner sur une des questions que j'avais piochée et que je préparais au fond de la classe. C'était des statistiques (que je déteste) et je n'avais pas la réponse. Le prof en a eu marre en voyant que malgré ses indications cette personne ne savait pas et a fini par donner la réponse. Bon, elle a surement perdu des points mais moi qui était tout ouïe j'en ai gagnés...

JLapin

raoul.S a dit :

Oui les personnes qui "passent" avant nous sont utiles des fois. 

Souvent, mais en l'occurrence, c'était juste une dernière pensée sur le sujet avant d'envoyer le message qui m'a fait me reprendre et tout effacer