Trois entiers naturels et un tableau noir
Bonjour,
le problème suivant me résiste, j'aimerais bien avoir des idées de résolution. Une variante de cet exercice a été proposée à la 53ème Olympiade de mathématiques en Pologne (année 2002, problème 3).
Trois entiers naturels $a,b$ et $c$ sont écrits sur un tableau noir. On choisit, au hasard, deux d'entre eux, disons $a$ et $b$, on les efface et on les remplace par $a+b$ et $\vert a-b\vert$, l'entier $c$ reste inchangé et est toujours écrit au tableau. On répète ces transformations plusieurs fois. Pour quels triplets $(a,b,c)$ d'entiers naturels choisis au départ, peut-on arriver au triplet $(2022,0,0)$ après un certain nombre de ces transformations.
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Réponses
On part de (2022,0,0) et on essaye de décrire les triplets antécédents avec les transformations décrites.
En effet les uniques triplets qui aboutissent en une étape à (2022,0,0) sont (2022,0,0) lui-même et (1011,1011,0). Et le seul triplet qui aboutit à (1011,1011,0) en une seule étape est (1011,0,0) et (1011,0,0) n'a pas de triplet qui le précède.