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Sur l'implication

Modifié (24 Mar) dans Fondements et Logique
Bonjour,
\(   \forall x \in \R ,\quad(  x^2 = -4   \Rightarrow  x=-2 )   \)     
est bien une proposition vraie !?
Cordialement.

Réponses

  • C'est indiscutable
  • Modifié (24 Mar)
    Connais-tu beaucoup de $x$ qui pourraient invalider cette implication ? C'est-à-dire des $x$ dont le carré vaut $-4$ et qui seraient différents de $-2$ ?
    Plus formellement, quelle est la définition de l'implication ? Il se traduit par une disjonction (avec un « ou ») et sous cette forme, l'assertion est évidente.
  • Modifié (27 Mar)
    tého a dit:  \(   \forall x \in \R , ~~(  x^2 = -4   =>  x=-2 )   \)    est bien une proposition vraie !?

    Et si l'on ajoute \(   \forall x \in \R , ~~(  x^2 = -4   =>  x=-3 )   \), on obtient une proposition qui est deux fois plus utile. N'a-t-on pas $2\times0=0$ ?
  • Modifié (27 Mar)
    Bonjour
    Merci pour les confirmations.
    La proposition suivante est donc alors vraie !?
    \( \exists x \in \R, \ (  x^2 = -4 \implies x = -2  )  \).
    Ainsi que la suivante !?
    \( \exists n \in \N ,\ (  n\ pair  \implies n \ impair  )  \)
    Cordialement.
  • Modifié (27 Mar)
    "$A\Rightarrow B$" équivaut à $\neg (A \wedge \neg B )$ en logique classique et peut en être considéré comme une abréviation.

    Existe-t-il un réel $x$ tel qu'il est faux que $x^2=-4$ et $x\neq -2$? oui, n'importe quel réel convient puisqu'on ne peut avoir $x^2=-4$ pour aucun $x$ ; par exemple $0^2\neq-4$.

    Existe-t-il un entier $n$ tel qu'il est faux que $n$ est pair et $n$ n'est pas impair? Oui, par exemple $3$ (il est faux que $3$ est pair, donc a fortiori  il est faux que $3$ est pair et $3$ n'est pas impair).
     
  • Eh bien oui, si n=3, "n pair" est faux, l'implication étant équivalente à "non p ou q", elle est vraie pour ce n.
    La question est plutôt "que veux-tu en déduire ?"
    Cordialement
  • @tého : je crois qu'il faut arrêter de te poser des questions métaphysiques à ce sujet. L'essentiel est de retenir que si l'hypothèse $A$ est fausse, alors $A \Rightarrow B$ est toujours vraie. Exemple : Mon petit frère marche au plafond $\Rightarrow$ Nicolas Sarkozy sera le prochain président de la république.
  • Complètement d’accord avec Martial. 
    On accepte ça, et on l’applique. 
  • Qui mieux que Bertrand Russell pour expliquer cela :smile:
    À la question « Vous pourriez démontrer que si 2 + 2 = 5 alors vous êtes le pape ? ». Bertrand Russell répondit : « Si 2 + 2 = 5, j’en déduis en soustrayant 3 à chaque membre que 1 = 2. Le pape et moi sommes deux, donc nous sommes un. Donc je suis le pape ! »
    504, c'est trop !
  • GGGG
    Modifié (27 Mar)
    Bonjour,
    Ce qu'il faut retenir, n'est-ce pas surtout que $A \Rightarrow B$, c'est $\neg A \vee B$ ? 
  • Modifié (28 Mar)
    C'est dommage de dire au gens de se taire et d'admettre devant ce genre de sujet. Je signale (à l'attention de lecteurs disons "intuitionnistes" qui n'apprécient pas vraiment  "$x\Rightarrow y := \neg (x \wedge \neg y)$") que même en logique intuitionniste il est possible de définir $\Rightarrow$ à partir d'autres connecteurs. Voici un exemple de ça.
    On considère des formules écrites à partir de variables propositionnelles (lettres: $A,B,C...$) et des connecteurs à deux arguments $A,B \mapsto A\equiv B$ et $A,B \mapsto A \wedge B$. Les lettres grecques majuscules désignent ci-dessous des listes de formules et la notation "$\Delta \vdash X$" se lit "$X$ peut être déduit de la liste d'énoncés $\Delta$".
    Dans la suite si $\Theta$ est une liste d'énoncés et $A$ un énoncé, $\Theta+A$ est la liste obtenue en ajoutant $A$ à $\Theta$.
    On considère les règles suivantes (où $\Gamma$ désigne une liste d'énoncés quelconques et $X,Y$ des énoncés quelconques):
    (axiome): $\Gamma+X \vdash X$
    (affaiblissement): si $\Gamma\vdash Y$ alors $\Gamma+X \vdash Y$
    $(\equiv_i)$: si $\Gamma +X \vdash Y$ et si $\Gamma + Y \vdash X$ alors $\Gamma \vdash X \equiv Y$
    $(\equiv_e)$:
    (i) si $\Gamma \vdash X \equiv Y$ et si  $\Gamma \vdash X$ alors $\Gamma \vdash Y$, et d'autre part
    (ii) si $\Gamma \vdash X \equiv Y$ et si  $\Gamma \vdash Y$ alors $\Gamma \vdash X$
    $(\wedge_i)$: si $\Gamma \vdash X$ et $\Gamma \vdash Y$ alors $\Gamma \vdash X \wedge Y$
    $(\wedge_e)$: si $\Gamma \vdash X \wedge Y$ alors $\Gamma \vdash X$ et $\Gamma \vdash Y$.

    Soient $A,B$ deux énoncés; désignons par $A\Rightarrow B:$ l'énoncé $A\equiv (A \wedge B )$. Soit $\Delta$ une liste d'énoncés. Alors:
    1°) si $\Delta +A \vdash B$ alors $\Delta \vdash A \Rightarrow B$.
    En effet, d'une part, $\Delta+A \vdash A$ d'après (axiome) et donc d'après $(\wedge_i)$, $\Delta+A \vdash A\wedge B$ et d'autre part $\Delta+ A \wedge B \vdash A$ d'après $(\wedge_e)$. Donc d'après $(\equiv_i)$, $\Delta \vdash A \equiv (A \wedge B )$ autrement dit, $\Delta \vdash A\Rightarrow B$.
    2°) si $\Delta \vdash A$ et $\Delta \vdash A \Rightarrow B$ alors $\Delta \vdash B$. En effet, par $(\equiv_e)$, $\Delta \vdash A \wedge B$ et par $(\wedge_e)$, on obtient $\Delta \vdash B$.

    Autrement dit, $A \Rightarrow B$ se comporte bel et bien comme "$A$ implique $B$" du point de vue de la déduction naturelle et d'autre part, toutes les règles que nous avons énoncées plus haut sont compatibles avec le raisonnement intuitionniste ($\equiv$ étant en fait l'équivalence $\Leftrightarrow$).
  • GGGG
    Modifié (28 Mar)
    "C'est dommage de dire au gens de se taire et d'admettre devant ce genre de sujet".

    Je ne sais pas à qui s'adresse ce grief. En ce qui concerne mon intervention, c'était plutôt une interrogation liée à mon expérience personnelle. Lorsque, il y a très, très, très longtemps, j'étais encore troublé par ces implications dans lesquelles les deux propositions n'ont manifestement aucun rapport entre elles, cela m'aidait de remplacer mentalement $A \Rightarrow B$ par "Soit ce n'est pas le cas que A est vrai, soit A est vrai, mais alors dans ce cas, B est vrai aussi". Tout doute disparaissait alors et je ne me suis plus jamais posé ce genre de questions qui préoccupent encore tohé. Il faut dire aussi que je m'intéressais à Bourbaki qui définissait ainsi l'implication par une disjonction. Mon message était destiné à aider tého, sait-on jamais, et non à le faire taire ! :) 
  • DomDom
    Modifié (28 Mar)
    En fait c’est le message de GG que je pense qu’il faut admettre. Peut-être parce que je l’ai appris comme ça en DEUG 1ère année (L1 aujourd’hui). 
    Une fois énoncé ainsi, ça ne m’a plus quitté. 
    C’était :
    quels que soient P et Q, P => Q := (non P) ou Q. 
    On peut râler et dire que ce n’est vrai qu’en logique classique ou qu’il existe d’autres manières de définir le « => ». Je suis d’accord. On peut. 

    Foys,
    se taire, non, mais par contre faire croire qu’on apprend quelque chose avec un contexte du langage courant, je ne sais pas si c’est vraiment pertinent. 
    Cela me rappelle les fils (idiots de mon point de vue) où l’on annonce démontrer l’existence ou la non existence de Dieu. 

    Ensuite tu peux préférer tes messages comme celui que tu viens d’écrire. Je m’interroge sur leurs pertinences quand on met cela en relief avec tous les symboles qu’ils contiennent (notamment introduire $\vdash$ dans une question triviale sur l’implication) et quand j’ai l’impression (Mea Culpa si j’ai tort !) qu’ils sont hors sujet (ou de portée ?) au regard de la question initiale du fil.
    Il y a un temps pour tout…
    Cordialement.
  • @Médiat_Suprème : Je peux me tromper mais au sujet de l'anecdote que tu cites plus haut il me semble que le personnage principal est plutôt Gödel.
  • Modifié (28 Mar)
    Je peux me tromper aussi (c'est arrivé en 1954 :D ) mais j'ai toujours entendu cette histoire attribuée à Russell.
    Google : Bertrand Russell pape, semble me donner raison
    Google Godel pape, remonte la même anecdote ... attribuée à Russell.

    Quand on est entre nous, vous pouvez m'appeler simplement Médiat :p .
    504, c'est trop !
  • Faut-il interpréter: démontrer l’existence ou la non existence de Dieu  comme étant démontrer "l'existence ou la non existence" de ploufplouftagada, ou bien démontrer soit "l'existence de ploufplouftagada" soit "la non-existence de ploufplouftagada" ?
    Comment obtenir une définition qui serait définissante des ploufplouftagadas sans avoir une connaissance suffisante de ce que serait  un ploufplouftagada s'il en existait ?  Quand on se demande si il existe des Martiens verts avec des pois jaunes, c'est facile de répondre parce qu'on sait bien que les Martiens sont jaunes avec des pois verts. Mais comment faire pour les ploufplouftagada ?
  • Modifié (28 Mar)
    La "preuve ontologique de l'existence de Dieu" par Kurt Gödel, qu'il avait refusé de publier, est la formalisation de l'argument de Saint Anselme, et c'est son seul intérêt ; d'ailleurs, je retiens surtout la formulation de ce théorème :   $\square \exists x G(x)$, on peut y voir clairement la preuve de l'existence du grand nounours vert, ou de la licorne rose invisible.
    504, c'est trop !
  • DomDom
    Modifié (28 Mar)
    Pierre,
    quel que soit l’énoncé, parler du Père Noël ne me parait pas du tout pertinent. Pire, c’est censé aider le béotien et c’est ce que dénoncent les anti pédagogistes en général à savoir : on édulcore, on théâtralise, on invente un décor et on mélange langage courant et culture populaire… les maths n’ont certainement pas besoin de cela. 
    C'est ce que je veux dire. 
    Cordialement 
    Dom
  • Modifié (28 Mar)
    Bonjour,
    Merci pour les réponses !
    Je pense avoir  compris en "logique classique".
    Mais par contre,
    la proposition suivante est-elle démontrable en logique  intuitionniste ?
    \( \exists n  \in \mathbb{N},  \ ( n \ pair  \  \Rightarrow  \ n \ impair ) \)
    Cordialement.
  • Modifié (28 Mar)
    Bonjour,

    Bien sûr que non ! (pour ta dernière question - quelle drôle de question).

    PS. Bien joué ! Je me suis fait avoir.
  • Modifié (28 Mar)
    GaBuZoMeu a dit :
    Bien sûr que non ! (pour ta dernière question - quelle drôle de question).
    De quelle question s'agit-il ? On a bien $3~ pair \Rightarrow 3~ impair$ vu que $3$ est déjà impair.
  • zzz
  • @Médiat : Va pour Médiat.
    Je ne sais plus qui m'avait raconté cette histoire avec le pape, mais toujours est-il que je l'ai racontée pendant toute une génération à mes élèves de Terminale S, puis à mes étudiants d'IUT... en insistant bien sur le fait qu'il s'agissait de Gödel. Mais je ne pense pas qu'ils m'en voudront...
    Par ailleurs, comme tu reconnais t'être trompé en 54, et partant du principe qu'on commet rarement des erreurs mathématiques avant l'âge de 4 ans, j'en déduis que tu as au moins 8 ans de plus que moi, lol.
  • Bravo : j'avais bien 4 ans en cette funeste année 1954  :) : ue définition du boomer !
    504, c'est trop !
  • Je suis trop balèze. Tu me donnes un vague indice avec un smiley et j'arrive à trouver ton année de naissance. J'aurais dû travailler dans la Police scientifique.
    Pourquoi "funeste" ? Tu fais allusion à l'Abbé Pierre et à "Hiver 54" ?
  • Non, à mon erreur, événement bien plus exceptionnel B) .
    504, c'est trop !
  • Je compatis. Sorry
  • Modifié (29 Mar)
    Bonjour,
    Merci, pour les réponses.
    Donc, en Logique "classique"  :
      \(  \exists n \in \mathbb{N},  ( n \  pair  \Rightarrow n \   impair  )    ~~~    \equiv   ~~~   \exists n \in \mathbb{N},   ( \neg (n \  pair)  \lor n \  impair  )         \)
      \(  \exists n \in \mathbb{N},  ( n \  pair  \Rightarrow n \   impair  )    ~~~    \equiv   ~~~   \exists n \in \mathbb{N},   ( n \  impair   \lor n \  impair  )         \)
      \(  \exists n \in \mathbb{N},  ( n \  pair  \Rightarrow n \   impair  )    ~~~    \equiv   ~~~   \exists n \in \mathbb{N},    n \ impair            \)

    Si j'ai bien compris :     \(  p  \Rightarrow  q   \)   n'est pas "équivalent"  à   \(  \neg p  \lor  q   \) 
    et ce qui précède n'est pas "valable" !?
    Je ne trouves pas la réponse à  la question :      La proposition suivante est-elle démontrable en logique  intuitionniste ?
     \(  \exists n \in \mathbb{N},  ( n \  pair  \Rightarrow n \   impair )  \)
    Cordialement.
  • Modifié (29 Mar)
    Foys l'a déjà dit : en arithmétique intuitionniste comme en arithmétique classique, on démontre que 3 est impair donc on démontre 3 pair $\Rightarrow$ 3 impair, donc on démontre $\exists n\in \mathbb N\ (n\text{ pair}\Rightarrow n\text{ impair})$.
  • On est sûr que la négation de « $n$ pair » soit « $n$ impair » en logique intuitionniste ? (Pour vous dire à quel point cette histoire me rend parano.)
  • Modifié (30 Mar)
    @Math Coss A vrai dire il n'y a pas vraiment de négation en logique intuitionniste(*). Il y a une phrase "$\perp$" dont le sens intuitif est "tout est vrai" et "$\neg X$" signifie $X\Rightarrow \perp$ donc en fait "$n$ impair" abrège "si $n$ est pair alors tout est vrai".
    Le truc est que pour tous énoncés $A,B$, $A \Rightarrow B \Rightarrow A$ est un théorème de logique intuitionniste (propositionnelle) et le modus ponens est valide donc si $A$ est un théorème, $B\Rightarrow A$ aussi peu importe qui sont $A$ et $B$. En fait les sens de pair et impair ne jouent aucun rôle ici.

    (*) Des lecteurs s'insurgeront peut-être mais dans toutes les sémantiques que je connais la négation est définie de façon indirecte; par exemple dans une algèbre de Heyting,$H$ $\neg x= x \to \inf H$, dans un espace topologique, $\neg x = x\Rightarrow \emptyset$, dans la correspondance de Curry Howard $\perp$ va être un type vide etc.
  • La définition de « n impair » est pour moi « non (n pair) ». 
    Par contre « non (n impair) » je ne sais pas si c’est « n pair ». 
  • Dans l'arithmétique intuitionniste on démontre :
    $$\forall n\ \exists p\ ((n=2\times p) \vee (n=2\times p+1))\;.$$
    Donc "$n$ impair" est( la négation de "$n$ pair" et "$n$ pair" la négation de "$n$ impair".

  • DomDom
    Modifié (30 Mar)
    Merci GaBuZoMeu. 
    Il me manque plusieurs bagages. 
    J’ai à peu près compris ce que signifie « logique intuitionniste » (ou peut-être ai-je plutôt compris la différence avec ce que signifie « logique classique »). 
    Par contre l’expression « arithmétique intuitionniste » m’est étrangère. Il faudrait que je fouille…
    Édit : est-ce la même chose que « arithmétique de Heyting » ?
  • Oui, tu prends les axiomes de Peano du premier ordre, et le système de déduction intuitionniste.
  • Merci pour ces éclaircissements – pas suffisants pour que j'écrive une ligne intuitionniste mais bon...
  • La logique intuitionniste semble difficile à intuiter ! :o
  • Sur la "ligne lisse" (analyse intuitionniste) toutes les fonctions sont continues partout.

    Un bon exemple (pour comprendre) est la fonction $f$ :smile:

    $ (x = 0)       \Rightarrow (f(x) = 0)  $
    $               \bigwedge               $
    $ \neg(x = 0)   \Rightarrow (f(x) = 1)  $
    504, c'est trop !
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