Critère lucasien pour la primalité de $R_p(6)=\frac{6^p-1}{5}$
Bonjour!
Quelqu’un peut-il prouver ou infirmer la conjecture suivante:
Soit $P_m(x)=2^{-m}\cdot \left(\left(x-\sqrt{x^2-4})^m+(x+\sqrt{x^2-4}\right)^m\right)$ . On définit par récurrence la suite d'entiers par: $S_0=P_{9}(4)$ et $\forall i \in \mathbb{N}$ $\quad S_i=P_6(S_{i-1})$ . Soit $p$ un nombre premier supérieur à $3$. Le nombre $R_p(6)=\frac{6^p-1}{5}$ est premier si et seulement si $S_{p-2}=-4 \pmod{R_p(6)}$ .
J’ai vérifié cette conjecture pour tous les nombres premiers $p$ jusqu’à $10000$.
Nombres $p$ tels que $R_p(6)$ est premier: A004062 .
Calcul numérique: SageMathCell .
Quelqu’un peut-il prouver ou infirmer la conjecture suivante:
Soit $P_m(x)=2^{-m}\cdot \left(\left(x-\sqrt{x^2-4})^m+(x+\sqrt{x^2-4}\right)^m\right)$ . On définit par récurrence la suite d'entiers par: $S_0=P_{9}(4)$ et $\forall i \in \mathbb{N}$ $\quad S_i=P_6(S_{i-1})$ . Soit $p$ un nombre premier supérieur à $3$. Le nombre $R_p(6)=\frac{6^p-1}{5}$ est premier si et seulement si $S_{p-2}=-4 \pmod{R_p(6)}$ .
J’ai vérifié cette conjecture pour tous les nombres premiers $p$ jusqu’à $10000$.
Nombres $p$ tels que $R_p(6)$ est premier: A004062 .
Calcul numérique: SageMathCell .
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Réponses
Il aurait été plus simple de dire $S_0=140452$ et $P_6(x)=x^6 - 6x^4 + 9x^2 - 2$.
Après, ça croît très vite, et $S_5$ a déjà plus de $25000$ chiffres, difficile de faire des tests.
Cordialement,
Rescassol
Merci. Pensez-vous qu’il est possible de prouver des conjectures dans une autre direction? C’est si $S_{p-2} \equiv \pm 4 \pmod{R_p(6)}$ alors $R_p(6) \in \mathbb{P}$.
Merci pour votre temps.