Champ de vecteurs

Barjovrille

Bonjour, je suis bloqué sur la question suivante.

Soit $M$ une variété différentielle.  Soit $p \in M$ Soit $X : M \mapsto TM$ un champ de vecteur tel que $X_p \neq0$

(ici $X_p$ est tel que $X(p)=(p,X_p)$ et $X_p \in T_pM$)

Montrer qu'il existe un système de coordonnées locales $(x^i)$  dans un voisinage de $p$ tel que $X= \partial_{x^1}$

Merci pour vos réponses.

Barjovrille

Je pense avoir trouvé une piste mais je ne suis pas sûr de bien conclure.

D'après un théorème il existe une unique courbe  intégrale maximale de $X$ qu'on appellera $\beta$ définie sur un intervalle $I$ ouvert de $\mathbb{R}$   qui contient $0$ et telle que $\beta (0)=p$.

Une courbe intégrale est une fonction qui  est vérifie $ \beta : I \mapsto M$  et     $ \forall t \in I,\ \frac{d \beta}{dt}(t) = X_{\beta(t)}$,

où $\frac{d \beta}{dt}(t)= d\beta_t (  \frac{d}{du}_{|u=t}$)

Si j'arrive à montrer que $\beta$ est un difféomorphisme local, sa réciproque est un bon candidat pour la première coordonnée de ma carte locale. 

Je regarde donc la différentielle de $\beta$ au point $0$.

Tout d'abord $d\beta_0 : T_0I \mapsto T_{\beta(0)}M= T_pM$

tout élément de $T_0I$ est de la forme  $\lambda \frac{d}{du}_{|u=0},\quad (\lambda \in R)$

$d\beta_0 $ est linéaire et on a $d\beta_0(\lambda \frac{d}{du}_{|u=0})=\lambda d\beta_0(\frac{d}{du}_{|u=0})=\lambda X_{\beta(0)}=\lambda X_p$

or $X_p \neq 0$ donc $ \lambda X_p=0$ si $\lambda = 0$ donc $\ker(d\beta_0)=\{0\}$

On a donc $d\beta_0$ bijective sur son image. Maintenant ma question est a-t-on le droit d'utiliser l'inversion locale sur des fonctions définies sur des variétés.

Ensuite si j'ai une réciproque de $\beta$ et que je prends comme première coordonnée de ma carte locale $\beta^{-1}$ alors

la première coordonnée de $X$ est $X(\beta^{-1})=d\beta ( \frac{d}{du})(\beta^{-1})=\frac{d\beta^{-1} \circ \beta}{du}=1$

Donc c'est bien parti mais je ne suis pas sûr du raisonnement.

Comment choisit-on les autres coordonnées de la carte locale ?

GaBuZoMeu

Bonjour

Puisque le problème est local, tu peux supposer que tu es en fait dans un ouvert de $\mathbb R^n$. Et quitte à faire un changement de variables linéaire, tu peux supposer que $X_p$ est le premier vecteur de la base canonique.

Barjovrille

Bonjour @GaBuZoMeu merci pour ta réponse.
Je ne sais pas si j'ai bien compris ton indication, tu veux dire que comme on est dans une variété j'ai une carte au voisinage du point $p$
donc un homéomorphisme local entre un ouvert de ma variété et un ouvert de $\R^n$ donc je peux faire l'identification?
Mais c'est une identification quand on voit $\R^n$ comme espace topologique et non comme espace vectoriel ?  (je suis un peu perdu avec les identification).

GaBuZoMeu

Ta variété est une variété différentiable, et ta carte est un difféomorphisme local.

Barjovrille

Ok merci @GaBuZoMeu je pense avoir compris,
comme $X_p \neq 0$ j'ai montré ci-dessus qu'il existe un voisinage ouvert $V$ de 0 tel que $\beta$ est un difféormorphisme de $V$ dans $\beta(V)$
donc $\beta(V)$ est un ouvert de $M$
je peux donc  construire une sous variété  ouverte de dimension 1  de $M$  qui est $\beta(V)$ en munissant $\beta(V)$ du système de coordonnées globales
$(\beta(V), \beta^{-1})$ (avec $\beta^{-1} : \beta(V) \mapsto V$) c'est clairement un atlas maximal donc c'est l'unique façon de munir $\beta(V)$ d'une structure de variété différentielle.
Or comme $\beta(V)$ est une sous variété de $M$ en particulier il existe un système de coordonnée $(x^i)$ de M  au voisinage de p adapté à $\beta(V)$ donc tel que 
$\beta(V) = \cap_{i>1}  ({x^i})^{-1}(\{0\})$.
Par unicité de l'atlas maximal de $\beta(V)$  on a  $x^1=\beta^{-1}$.
Par l'égalité  entre la courbe et $X$
On a $X$ est un champ de vecteur sur $\beta(V)$ (qui est une variété de dimension 1) donc $X=X^1 \partial_{x^1}$ et par les calculs précédents $X(\beta^{-1})=1$ d'ou $X=\partial_{x^1}$