Espace métrique localement compact

Blanc

Bonjour
Pouvez-vous me dire dans quel document je peux trouver une démonstration de la propriété suivante.

Soit (X,d) un espace métrique. Si X est localement compact, alors il existe une distance d' topologiquement équivalente à d telle que (X,d') soit complet.

En vous remerciant.

Georges Abitbol

Tu peux trouver une démonstration ici : https://mathoverflow.net/questions/151026/locally-compact-space-that-is-not-topologically-complete 

Blanc

Cela fait appel au théorème de Stone sur les espaces métrisables qui sont paracompacts et donc il y a du travail pour mettre cela bout à bout.

Merci beaucoup.

Georges Abitbol

Oui, ce n'est pas facile. D'ailleurs je ne croyais pas que ce soit vrai !

Zig

Une autre démo constructive par "le" complété.

D'abord, un lemme d'intérêt indépendant :
lemme : Soient $\left(X,d \right)$ un espace métrique et $U\subset X$ un ouvert strict non vide.
On vérifie qu'on définit une distance $\delta$ sur $U$ en posant pour tous $x,y\in U$:
$\delta\left(x,y \right) =d\left(x,y \right)+ \left| \frac{1}{d\left(x,U^c \right)}-\frac{1}{d\left(y,U^c \right)}\right|$.
De plus, $d$ et $\delta$ sont topologiquement équivalentes sur $U$.
Enfin, si $\left(X,d\right)$ est complet, alors $\left(U,\delta\right)$ est complet.

On peut maintenant répondre à la question : 
Soit $\left(A,d\right)$ un espace métrique localement compact. Montrer qu'il existe une distance complète $\delta$ sur $A$ topologiquement équivalente à $d$.
--> On considère un complété $\left(X,d\right)$ de $\left(A,d\right)$ (on note toujours $d$ le prolongement de $d$ à $X$).
On utilise alors le lemme ci-dessus en se souvenant que $A$ est un ouvert de $X$.

raoul.S

Il y a un bouquin qui a l'air assez bien et qui utilise la démo de Zig ci-dessus :  A Course on Borel Sets de S. M. Srivastava. Voir théorème 2.3.30 p.62.

Le point essentiel est bien qu'un espace métrique localement compact est ouvert dans son complété.

PS. On trouve ce bouquin assez facilement (gratuit donc) sur le web... 

Blanc

Bonjour Zig et Raoul
Je ne comprends pas la notation ou interviennent $U$ etc dans :
 
Ce lemme est-il démontré quelque part ?
Pour Raoul : je n'ai pas réussi à trouver le livre sur le Web sinon une petite partie, le reste n'étant pas consultable.
Merci de vous être penchés sur ma question.

gerard0

Bonjour.

Pas de c, c'est simplement la notation du complémentaire de $U$.

Cordialement.

Georges Abitbol

@Blanc :
1) Si $U$ est un ouvert d'un espace métrique $X$, si $d$ est une distance sur $X$, alors pour tout $x$ dans $U$, $d(x,U^c) \neq 0$.
-> En effet, $U^c$ est fermé, et si $d(x,U^c) = 0$, alors $x$ est adhérent à $U^c$ qui est fermé et donc...

2) Sous les mêmes hypothèses, l'application $\delta := (x,y) \mapsto d(x,y) + \lfloor \frac{1}{d(x, U^c)} \frac{1}{d(y,U^c}\rfloor$ est une distance.
-> Pas trop dur, non ?

3) $\delta$ induit la topologie induite sur $U$ : 
-> Comme $\delta >= d$, il n'y a qu'un sens à vérifier : on regarde, pour tout $x$ dans $U$, si une petite boule pour l'une des distances en contient une de l'autre...

4) $U$ est alors complet pour $\delta$.
-> Je n'ai pas essayé mais j'imagine qu'une suite de Cauchy (pour $\delta$) d'éléments de $U$ ne doit pas trop s'approcher de $U^c$ ; du coup, sa limite ne peut être que dans $U$.

Blanc

J'aimerais savoir pourquoi un espace métrique localement compact est ouvert dans son complété.


merci

Georges Abitbol

Soit $Y$ un espace métrique localement compact, soit $X$ son complété, et soit $j : Y \rightarrow X$ le plongement isométrique.

Soit $x \in j(Y)$ Notons $y$ l'unique antécédent de $x$. Soit $\delta>0$ tel que la boule fermée $B$ de centre $y$ et de rayon $\delta$ soit compacte.

1) Soit $z$ dans la boule fermée de centre $x$ et de rayon $\delta/2$. Montrer que $z$ est limite d'une suite d'images par $j$ d'éléments de $B$. 
2) Démontrer que $j(B)$ est fermé.
3) Conclure.

Blanc

Merci à vous tous d'avoir réfléchi à mon problème.

raoul.S

@Blanc je t'ai envoyé un MP.

raoul.S

Bon, question de rajouter une preuve (à celle de Georges) voici celle du bouquin en question, qui me semble un peu plus générale finalement. Elle est élémentaire mais pas triviale (pour Blanc : $cl$ est l'adhérence) : 

Georges Abitbol

Hum, Srivastava ne dit pas où il utilise son hypothèse de métrisabilité de $X$...

raoul.S

Effectivement, on dirait qu'il utilise juste le fait que $X$ est séparé pour pouvoir affirmer que $cl(U)\cap Y$ est fermé dans $X$.

Georges Abitbol

Ben moi je ne suis même pas encore convaincu qu'un $U$ comme il le veut existe.

raoul.S

Oui cette preuve a la particularité de tenir en quelques lignes mais il faut s'accrocher si on n'est pas rompu en topologie. J'ai dû la relire quelques fois... remarque, pour les rompus ça doit être presque une évidence je crois.

Pour le $U$ : $Y$ étant localement compact, il existe un ouvert $U$ de $Y$ contenant $x$ et contenu dans un compact. Par conséquent l'adhérence de $U$ dans $Y$ est compacte. Mais l'adhérence de $U$ dans $Y$ est égale à $cl(U)\cap Y$ où $cl(U)$ est l'adhérence de $U$ dans $X$.

Blanc

Merci Raoul pour ton envoi et pour ton explication qui clarifie l'échange entre toi et Georges.

Blanc

J'aimerais une aide pour montrer que si (X,d) est complet alors (U, delta) est complet comme l'a proposé Zig

Georges Abitbol

Soit $(x_n)_n$ une suite d'éléments de $U$ qui est de Cauchy pour $\delta$. Comme $\delta \geq d$, elle est aussi de Cauchy pour $d$ et donc elle converge vers un point $x$ dans $X$. Il suffit de démontrer que $x$ est dans $U$.

Pour cela, il suffit de démontrer que $d(x,U^c) > 0$.

Or $d(x,U^c) = \lim_{n \to \infty} d(x_n,U^c)$. Donc il il suffit de montrer que la suite $(d(x_n,U^c))_n$ ne s'approche pas trop de $0$, ou encore, comme c'est une suite de réels positifs non nuls, que la suite de ses inverses est bornée.

Soit un entier $N$ tel que pour tout entier $n$ plus grand que $N$, $\delta(x_n,x_N) < 1$. Et donc, pour tout $n$ plus grand que $N$, $\lfloor \frac{1}{d(x_n,U^c)} - \frac{1}{d(x_N,U^c)}\rfloor < 1$, et donc $\frac{1}{d(x_n,U^c)} < 2 + \frac{1}{d(x_N,U^c)}$.

Blanc

Bonjour Georges

Je te remercie beaucoup de m'avoir proposé ta solution et grâce à ton intervention et à celle de Raoul, je commence à voir le bout du tunnel.
Bravo pour ta solution. 

Blanc

Je remercie aussi Zig dont le lemme a permis de débloquer la situation.

Blanc

Bonjour Georges
Peux-tu m'aider à montrer que les distances d et delta du lemme proposé par ZIG sont topologiquement équivalentes.
En te remerciant.

raoul.S

@Blanc en notant $B_d(x,r)$ et $B_{\delta}(x,r)$  les boules ouvertes centrées en $x$ de rayon $r$ pour les distances $d$ et $\delta$, tu peux procéder en montrant que : 

1) pour tout $x\in U$, et tout $r>0$, il existe $r'>0$ tel que $B_d(x,r')\subset B_{\delta}(x,r)$
2) pour tout $x\in U$, et tout $r>0$, il existe $r'>0$ tel que $B_{\delta}(x,r')\subset B_d(x,r)$.

Le point 1) est équivalent à dire que tout voisinage d'un point $x$ pour la distance $\delta$ contient un voisinage de $x$ pour la distance $d$. Ce qui revient à dire que les ouverts pour $\delta$ sont des ouverts pour $d$.

Le point 2) est équivalent à dire que tout voisinage d'un point $x$ pour la distance $d$ contient un voisinage de $x$ pour la distance $\delta$. Ce qui revient à dire que les ouverts pour $d$ sont des ouverts pour $\delta$.

Tu ne devrais pas avoir de problèmes pour montrer 2) car $d\leqslant \delta$.

Pour le 1) remarquer que $\left| \frac{1}{d\left(x,U^c \right)}-\frac{1}{d\left(y,U^c \right)}\right|=\frac{\left|d(y,U^c)-d(x,U^c)\right|}{d\left(x,U^c \right)d(y,U^c)}\leqslant \frac{d(x,y)}{d\left(x,U^c \right)d(y,U^c)}$ et donc $\delta(x,y)\leqslant d(x,y)\left(1+\frac{1}{d(x,U^c)d(y,U^c)} \right)$. À partir de là du devrait pouvoir montrer qu'il existe $r'>0$ tel que pour tout $y\in U$, si $d(x,y)<r'$ alors $\delta(x,y)<r$. Ce qui prouve 1).

Blanc

Bonjour Raoul,
 
J'étais arrivé à la même expression  que celle que tu obtiens à la dernière ligne de ton calcul.

raoul.S

Le problème avec ton $m$ c'est justement qu'il peut être égal à 0. Il faut procéder autrement.

Vu que $x$ est fixe il suffit de montrer que $\dfrac{1}{d(y,U^c)}$ est majoré lorsque $y$ varie dans une boule centrée en $x$ de rayon $r'$ assez petit. Tu peux le voir en considérant l'inégalité $|d(x,U^c)-d(y,U^c)|\leqslant d(x,y)$. De là on en déduit que $d(y,U^c)\geqslant d(x,U^c)-d(x,y)$.

Soit $r'>0$ quelconque pour le moment. Pour tout $y\in B_d(x,r')$ on a donc $d(y,U^c)\geqslant d(x,U^c)-r'$ et par suite $\dfrac{1}{d(y,U^c)}\leqslant \dfrac{1}{d(x,U^c)-r'}$ si $d(x,U^c)-r'>0$, donc si $r'<d(x,U^c)$.

Pour finir si $0<r'<d(x,U^c)$, pour tout $y\in B_d(x,r')$ on a $\delta(x,y)\leqslant r'\left( 1+\frac{1}{d(x,U^c)(d(x,U^c)-r')}\right)$. Lorsque $r'$ tend vers $0$ la quantité à droite tend vers $0$, donc pour $r'$ assez petit la quantité à droite est $< r$ ce qui prouve 1).

Blanc

Bonsoir Raoul

C'est très joli et je te remercie de ton aide qui a été si précieuse ainsi que celle d'autres participants à ce forum qui ont réfléchi à la question initiale. 

Je me pose la question de savoir d'où vient le lemme produit par Zig car en consultant d'autres cours je n'en vois nullement trace.

Je suis émerveillé par votre ingéniosité à tous.

raoul.S

Blanc a dit :

Je me pose la question de savoir d'où vient le lemme produit par Zig car en consultant d'autres cours je n'en vois nullement trace.

Je crois que c'est un exo "connu". Par exemple tu le trouves dans ce cours exercice 10 page 12.

D'ailleurs je viens de me rendre compte que la résolution ci-dessus peut être rendue beaucoup plus simple en considérant les suites. En effet il suffit de démontrer que dans $U$, $d$ et $\delta$ ont les mêmes suites convergentes (ce qui est très facile à montrer vu la définition de $\delta$). De là on en déduit que les fermés (toujours dans $U$) sont les mêmes pour $d$ et pour $\delta$ ("mêmes fermés" est équivalent à "mêmes ouverts").

PS. personnellement je ne suis pas très ingénieux... je prends plein de trucs dans les cours ou les livres.