Sphère osculatrice

usine

Bonjour et merci d'avance.

Pourriez-vous me confirmer que mon calcul numérique est correct ?

Dans un repère orthonormé $\left(O,\vec {i},\vec {j},\vec {k}\right)$ de $\mathbb {R}^3$

On considère la courbe paramétrée qui dans ce repère est définie par

$x\left(t\right)=5+2\cos\left(t\right)$

$y\left(t\right)=3\sin\left(t\right)$

$z\left(t\right)=5\sin\left(\dfrac {t}{2}\right)$

Pour le point $P_t$ avec $t=\dfrac {1+\sqrt {5}}{2}$ calculer

a) La courbure $\gamma $ et la torsion $\tau $

b) Le rayon $r$ du cercle osculateur et le rayon $R$ de la sphère osculatrice

c) Les coordonnées du centre $W$ du cercle osculateur et les coordonnées du centre $S$ de la sphère osculatrice

Remarque. On se contentera d'une approximation des valeurs numériques à quatre chiffres après la virgule

Solution

a)

$\gamma \approx 0.4423$ la courbure.

$\tau \approx 0.1163$ la torsion.

b)

$r\approx 2.2608$ le rayon du cercle osculateur.

$R\approx 19.5747$ le rayon de la sphère osculatrice.

c)

$W\left(4.6976;0.7854;3.1958\right)$ le centre du cercle osculateur.

$S\left(17.3054;-3.1263;17.4716\right)$ le centre de la sphère osculatrice.

usine

Petite précision en attendant que quelqu'un confirme mes calculs

Pour le repère mobile de Frenet $\left(P_t,\overrightarrow {T},\overrightarrow {N},\overrightarrow {B}\right)$  au point $P_t$ j'ai obtenu  

$P_t\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)\approx \left(4.905560,2.996654,3.618045\right)$

 

$\overrightarrow {T}\approx \begin {pmatrix} -0.755702 \\ -0.053586 \\ 0.652720 \end {pmatrix}_{\left(\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k}\right)}$ 

$\overrightarrow {N}\approx \begin {pmatrix} -0.091971 \\ -0.978087 \\ -0.186779 \end {pmatrix}_{\left(\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k}\right)}$ 

$\overrightarrow {B}\approx \begin {pmatrix} 0.648426 \\ -0.201180 \\ 0.734214 \end {pmatrix}_{\left(\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k}\right)}$ 

Le vecteur vitesse étant colinéaire à $\overrightarrow {T}$ et dans ce cas particulier il est aussi de même sens

Le plan osculateur est engendré par $\overrightarrow {T}$ et $\overrightarrow {N}$
Le plan rectifiant est engendré par $\overrightarrow {T}$ et $\overrightarrow {B}$
Le plan normal est engendré par $\overrightarrow {N}$ et $\overrightarrow {B}$

Ludwig

Bonsoir,
C'est un peu curieux de prendre $t=\frac{1}{2} \; \left(\sqrt{5} + 1 \right)$ mais bon.. avec GeoGebra on trouve une courbure de 0.4423280737...
Une figure : 


Peut-être pas une fenêtre de Viviani mais on ne devrait pas en être loin.
Amicalement

usine

Merci Ludwig
Pour la courbure on a la même chose
Pour le reste on a pareil?

Ludwig

Je n'ai pas fait les calculs. Comment les as-tu fait ?

usine

avec une machine à calculer  casio 

Ludwig

J'ai la même ! (une fx-92)
Sais-tu comment elle effectue les opérations qu'elle propose à son menu ?
De le savoir te rassurera sur les résultats que tu obtiens grâce aux propriétés et aux formules de ton cours.
Quelles propriétés et formules au fait ? Je ne me souviens plus.

usine

Une casio graph 35
Je n'ai utilisé que le calcul matriciel et écrit le repère mobile moi-même
Je pensais qu'il existait quelque part un logiciel qui fasse tous ces calculs et j'aurais vérifié si ça colle 
  

Chaurien

Sauf erreur, la courbe est tracée sur l’ellipsoïde d'équation $ (\frac {x-3}4)^2+(\frac y6)^2+(\frac z5)^2=1$ et non sur une sphère comme une vraie fenêtre de Viviani :

  https://mathcurve.com/courbes3d/viviani/viviani.shtml

Elle se déduit d'une fenêtre de Viviani par une transformation affine, et c'est pourquoi elle lui ressemble.

Ludwig

Oui, une deuxième figure : 

Avec GGB, en plus de la commande Courbure, on a aussi la commande VecteurCourbure.

usine

Avec ces logiciels (que je ne connais pas) vous pouvez confirmer le reste de mes calculs donnés au premier post?
La torsion
Le centre du cercle osculateur
Le centre de la sphère osculatrice au point $P_t$?

usine

Je vais tout décortiquer et remettre à plat tous les calculs que j'ai fait.
Le calcul pour le cercle c'est ok mais le reste n'est pas bon.
Le problème de mon erreur n'est pas calculatoire : c'est juste du grand n'importe quoi car j'ai mal dérivé mes vecteurs.
Pas la peine de me répondre : le problème c'est moi !

usine

Pour le calcul de la sphère osculatrice je m'y suis très mal pris
Et c'est ma faute car je devais bien me douter que ce que je devais dessiner comme figure c'est celle-ci en considérant que localement la courbe est celle d'une courbe non plane appartenant à une sphère
 

Je n'ai pas tenu compte de Jean-Baptiste Meusnier
Jean-Baptiste Marie Meusnier — Wikipédia (wikipedia.org)
Il y a un théorème Jean-Baptiste Meusnier à exploiter
Théorème sur les courbures des surfaces, dû à Jean-Baptiste Meusnier .
Plusieurs énoncés portent ce nom.
1 – Si deux courbes tracées sur une même surfaces sont tangentes en un même point M et ont le même plan osculateur en M, alors elles ont le même centre de courbure en M.
2 – Soit C une courbe tracée sur une surface S et P le centre de courbure de C en un point M. Le point P est la projection sur le plan osculateur en M à C du centre de courbure en M de la section normale de S contenant la tangente en M à C.

Je reviendrais quand j'aurais travaillé le sujet (ça devrait prendre un moment et faire des vacances au forum)

Chaurien

Je reviendrai quand j'aurai travaillé le sujet (futur de l'indicatif, et non conditionnel).

usine

Merci Chaurien.
Je vais faire plus attention à la conjugaison des verbes car ça aussi c'est important pour moi.