Vecteurs unitaires

ronaldo.p

Bonjour.
Soit $\epsilon>0.$ On veut prouver qu'il existe un ensemble fini $K$ de vecteurs unitaires de $\mathbb{R}^p$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}^p$ et tout vecteur unitaire $u$ il existe un vecteur $y \in K$ tel que $$\langle x,u\rangle \leq (\epsilon+1) \langle x,y\rangle.$$
Avez-vous des idées comment prouver cela ?
Merci.

Calli

Bonjour, 
Il suffit d'avoir que pour tout $x$ unitaire il existe $y\in K$ tel que $\langle x, y\rangle\geqslant (1+\varepsilon) ^{-1}$. Pour ça, on peut utiliser la précompacité de $\Bbb S^{p-1}$.

ronaldo.p

J'ai déjà essayé d'utiliser la précompacité, mais est-ce qu'elle assure la finitude de $K$ ? 

Calli

Ah oui, c'est dans la définition de la précompacité. 

ronaldo.p

La definition que je connais dit que de tout recouvrement, on peut extraire un sous-recouvrement fini, mais je ne pense pas que cela assure que le cardinal $card(K)$ est fini

Calli

Tu confonds la compacité et la précompacité. Regarde "ensemble précompact" sur internet.