Chercher explicitement une relation de conjugaison

BA

Bonjour

Je cherche une relation de conjugaison explicite dans $ \mathbb{S}_5 $ entre:

$ \sigma_1 = \bigl(\begin{smallmatrix}     1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\     2 & 3 & 1 & 4  & 5   \end{smallmatrix}\bigr) $

$ \sigma_2 = \bigl(\begin{smallmatrix}     1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\     3 & 2 & 5 & 4  & 1   \end{smallmatrix}\bigr) $

Je cherche donc $ \tau $ tel que : $ \sigma_2=\tau \sigma_1 \tau^-1 $

En tâtonnant, j'ai trouvé $ \tau = \tau^{-1}=(13)(25) $

Mais je me demande si il y a une façon propre de le faire, sans tâtonner...

Merci !

GaBuZoMeu

Bonsoir

Oui, c'est de passer par la décomposition en produit de cycles disjoints des deux permutations

(123)(4)(5)

(351)(4)(2)

PS. Il n'y a bien sûr pas unicité.

BA

Merci

Pour les cycles disjoints, c'est ce que j'ai essayé de faire, mais je n'arrive pas à formaliser cela en équations.

Math Coss

Si $\gamma=(i_1,\dots,i_r)$ est un cycle de longueur $r$ et $\sigma$ une permutation quelconque, sais-tu qui est $\sigma\gamma\sigma^{-1}$ ?

GaBuZoMeu

Mais pourquoi diable veux-tu des équations ? Ça n'a rien à faire ici.

Deux permutations sont conjuguées si et seulement si elles ont des décompositions en produits de cycles disjoints de même type, c.-à-d. même nombre de cycles pour chaque longueur de cycle.

Tu écris alors tes deux décompositions l'une en dessous de l'autre par longueur de cycle décroissante, de façon à avoir des cycles de même longueur l'un en dessous de l'autre :

$\sigma_1=(123)(4)(5)$

$\sigma_2=(135)(2)(4)$

Tu laisses tomber les parenthèses pour obtenir une permutation donnée par deux lignes :

$\tau = \begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&3&5&2&4\end{pmatrix}$

Et voila, tu as $\tau\sigma_1\tau^{-1}=\sigma_2$.

L'explication est simple : $\tau^{-1}$ te fait remonter de la deuxième ligne à la première, $\sigma_1$ fait tourner les cycles sur la première ligne, $\tau$ te fait redescendre de la première à la deuxième ligne ; c'est bien comme si tu avais fait tourner les cycles sur la deuxième ligne !

bisam

Alors ça, c'est une explication shadok comme on les aime ! Ça a l'air complètement farfelu, mais c'est parfaitement exact.

BA

Compris! Merci!