Solution maximale EDO

maxbe

Bonjour,
Je suis activement à la recherche d'aide pour l'exo 3 (ci-dessous). La moindre idée est la bienvenue 

MrJ

Je ne suis pas sûr du raisonnement ci-dessous.

En raisonnant par l'absurde et en utilisant une propriété de compacité, on peut montrer qu'il existe une suite $(x_n)_{n\in\N}$ convergeant vers $I^+$ telle que $(\lambda_{max}(x_n))_{n\in\N}$ converge vers une limite finie. On peut alors aboutir à une contradiction en utilisant le théorème d'existence et d'unicité de Cauchy-Lipschitz pour montrer que la solution se prolonge sur un voisinage ouvert de $I^+$.

En général, cette propriété est formulée en "une solution maximale sort de tout compact".

Barjovrille

Oui c'est bien ça, pour $n$ assez grand donc pour $x_n$ assez près de $I^+$, on applique Cauchy-Lipschitz sur le même problème mais avec donnée initiale $y(x_n)$, on aura alors une nouvelle solution définit sur un intervalle $I^*$ qui va  plus "loin" (à droite) que  $I_{max}$ et qui coïncide avec  $ \lambda_{max}$ sur $ I_{max} \cap I^*$ donc on peut prolonger $\lambda_{max}$ et on a la contradiction.

Si tu veux la forme de l'intervalle $I^*$, il apparait quelque part dans la démo de Cauchy-Lipschitz tu adaptes juste avec ta nouvelle condition initiale.

maxbe

MrJ a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2346401/#Comment_2346401

[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

Merci pour votre réponse, c'est déjà plus clair !
De quelle propriété de compacité parlez-vous ?

maxbe

J'ai fini par obtenir quelque chose, qlq quelqu'un voudrait-il bien y jeter un coup d'œil svp ?
Merci d'avance !

MrJ

Attention le contraire de ta conclusion n’est pas que la solution est bornée : elle pourrait aussi osciller.

En raisonnant par l’absurde, on obtient qu’il existe un nombre $A>0$ et une suite $(x_n)_{n\in\N}$ convergeant vers $I^+$ telle que $\lambda_{max}(x_n)\in [-A, A]$ pour tout $n\in\N$. (après réflexion, la convergence de cette dernière suite est inutile).

Le point clé pour conclure (ta démonstration est floue sur ce passage) est de choisir correctement les réels $\varepsilon$ et $\delta$. Pour cela, il faut utiliser la notion de cylindre de sécurité qui te permettra d’assurer à la fin que $x_n + \varepsilon> I^+$, ce qui a priori n’a pas de raison d’être vraie dans la démonstration. 

maxbe

MrJ

Merci pour ta réponse ! Pourrais-tu m'expliquer un peu plus cette notion de cylindre de sécurité stp ? J'ai l'impression que vu la manière dont j'ai défini l'ensemble $D$,  on a bien que $x_n + \varepsilon> I^+$.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

MrJ

Désolé, j’écrivais avec une tablette hier soir, ce qui m’empêchait de détailler.

Il faut faire attention : si tu appliques le théorème de Cauchy-Lipschitz au problème de Cauchy $y'=f(y)$ avec la condition initiale $y(x_n) = \lambda_{max}$, tu en déduis qu'il existe localement une solution à ce problème, c'est-à-dire une solution de la forme $y:]x_n-\varepsilon_n, x_n+\varepsilon_n[\to\mathbb{R}$ avec $\varepsilon_n>0$. Sans davantage de précision tu ne peux pas conclure : on pourrait avoir $x_n+\varepsilon_n < I^+$.

Il faut donc un énoncé plus précis pour avoir une estimation pour le réel $\varepsilon_n$. C'est pour cela que je t'ai parlé de la notion de cylindre de sécurité (je ne sais pas si cette terminologie est universelle, cette notion n'est pas mentionnée explicitement dans le cours donné ci-dessous).

Pour plus de détail, voici un cours : http://math.univ-lyon1.fr/~vovelle/2Cours.pdf

Pour ton problème, les énoncés qui t'intéressent sont :

- le théorème 3, page 4, qui est un énoncé précis de Cauchy-Lipschitz (qui précise où est défini la solution locale) ;

- le théorème 7, page 6, qui le théorème de sortie de tout compact (c'est surtout sa démonstration page 7 qu'il faut que tu regardes).