Minimum d'une intégrale

OShine

Bonjour
Je ne comprends pas l'exercice et encore moins le corrigé.

Exercice 7.8 : 
Soit $f : [a,b] \longrightarrow \R$ strictement croissante et continue. Montrer que $\inf_{\mu} \displaystyle\int_{a}^b | f(t)-\mu| dt $ est atteint pour l'unique valeur $\mu=f( \dfrac{a+b}{2})$

Je ne comprends pas la première ligne du corrigé et pourquoi on introduit ce $\varphi(x)$.
Corrigé. 
Évidemment il suffit de se limiter à $\mu \in [f(a),f(b)]$, c'est-à-dire $\mu=f(x)$ pour un certain $x \in [a,b]$.
Posons donc : $ \varphi(x)=\displaystyle\int_{[a,b]} | f -f(x)|$

gerard0

Ce n'est pas grave. Prends le temps de chercher tout seul une réponse à l'exercice en faisant le travail nécessaire, celui que tu ne fais jamais : Comprendre ce qui se passe, et pour cela, regarder des exemples, prendre des cas particuliers, faire des calculs, des dessins, etc.

Tu perds ton temps à lire des corrigés de sujets auxquels tu n'as absolument pas réfléchi, tu n'apprends rien ainsi, tu crois seulement apprendre, puis tu te plains ensuite d'avoir oublié !!

Au travail !

OShine

D'accord je laisse tomber le corrigé. Je prends $f(t)= t$ par exemple qui est strictement croissante et continue.
Alors on cherche $\inf_{\mu} \displaystyle\int_{a}^b |t- \mu| dt$
Rien que sur cet exemple je ne vois pas pourquoi on devrait se limiter à $\mu \in [a,b]$ ? J'aurais fait 3 cas, ce qui m'aurait pris 1 heure...
Posons $I=\displaystyle\int_{a}^b |t- \mu| dt$ et limitons nous à $a \leq \mu \leq b$
Par Chasles $I=\displaystyle\int_{a}^{\mu} (\mu -t) dt +\displaystyle\int_{\mu}^{b} (t- \mu) dt$
Soit $I=\mu (\mu-a) -  \dfrac{ \mu^2 -a^2}{2} - \mu (b- \mu) + \dfrac{ b^2-\mu^2 }{2}$
$\boxed{I= \mu^2 - \mu (a+b)+ \dfrac{a^2+b^2}{2}}$
D'après le cours sur les paraboles le minimum est atteint en $\boxed{x=\dfrac{a+b}{2}= \dfrac{ f(a)+f(b)}{2}}$
Voici aussi un graphique qui explique la situation avec $a=0$, $b=1$ et $f(t)=t$.

gerard0

"Rien que sur cet exemple je ne vois pas pourquoi on devrait se limiter" ????? Tu avais dit que tu laissais tomber le corrigé, et la première chose que tu fais c'est d'y revenir. Tu n'as pas un cerveau ? Alors pense par toi-même.

Et tu n'as pas besoin de venir écrire tes brouillons ici !! Cherche seul un vrai long moment, au lieu de perdre ton temps en tapant un message inutile et de montrer ton incapacité à chercher. Il est temps de lâcher la main pour marcher, tu es grand maintenant !!

Arrête de toujours demander aux autres, arrête de mendier !

Amédé

il est tiré d'où l'exo?

OShine

@gerard0 ce n'est pas un brouillon, j'ai démontré le résultat de l'exercice pour $f(x)=x$. Maintenant passer au cas général me semble beaucoup plus difficile.

Parce que cette première ligne du corrigé m'intrigue. Ce n'est pas un message inutile mais une démonstration que j'ai tapée, même si ça fonctionne que sur un exemple, c'est mieux que rien.

OShine

@Amédé toujours de mon livre de chevet DUNOD MP/MP* tout en un édition 2019. Cet exercice ne possède pas d'étoile de difficulté.

zeitnot

OShine a dit :

toujours de mon livre de chevet DUNOD MP/MP* tout en un édition 2019.

Où est la caméra ?   

OShine

Je ne connais pas de technique pour ce genre d'exercice.
Je sais démontrer qu'un ensemble possède un maximum ou un minimum par exemple.

gerard0

O Shine,

faire un essai ce n'est pas répondre à l'exercice. C'est au brouillon, seul chez soi ou devant la copie de concours qu'on fait ça pour essayer de comprendre. Et si un seul essai ne suffit pas, on ne va pas pleurer pour que d'autres t'expliquent, on continue à chercher. Tu es vraiment lamentable !!

Et tu te permets d'écrire "Ce n'est pas un message inutile mais une démonstration que j'ai tapée" !! Tu mets sur le même plan un tout petit essai bête et une démonstration ? Donc tu ne comprends même pas ce que tu fais ici ?? La bêtise atteint des profondeurs insoupçonnées !!

 On devrait classer tes messages en shtam, pour ceux qui croient avoir démontré un résultat !!!

OShine

Je ne vois pas l'idée dans le cas général. Comme quoi traiter des cas particuliers ne sert pas toujours.
Je sais déterminer la borne inférieure quand je connais la fonction ici on ne la connaît pas.
Ce n'est pas un essai bête car même pour une fonction ultra simple il y a plusieurs calculs avant d'obtenir la borne inférieure. 

Dom

Ce n’est pas grave. Gérard a raison. 

Continue tes recherches. 

D’autres exemples, dessins, essais. 

Savoir résoudre ça n’apprend rien. 

Savoir chercher, oui ! Donc il faut apprendre à chercher et pas apprendre à résoudre. 

bd2017

@Os il me semble bien que  dans  ton cas particulier, tu enlèves les valeurs absolues en coupant l'intégrale en 2. Bien entendu je n'ai pas regardé mais pourquoi  cela  ne marche pas dans le cas général?

Edit: je viens de  me rendre compte  que tu as presque donné la solution.  En effet  tu dois minimiser une fonction de $ \mu. $  Mais  en posant $\mu= f(x) $ cela  devient une fonction de $x$  et  avec l'exemple que tu as traité .... ça devrait se terminer.

OShine

Dans le cas général, $f$ n'est pas forcément affine... Par ailleurs j'ai considéré $\mu \in [a,b]$ mais je n'ai pas compris pourquoi $\mu$ ne peut pas être en dehors.
Par exemple, $f : x \mapsto x^3$ est continue et croissante sur tout intervalle du type $[a,b]$ avec $a \leq b$.

La première ligne du corrigé m'énerve car je ne la comprends pas. Pourquoi $\mu$ est forcément un élément de l'image de $f$ ? Pourquoi $\mu \in  [f(a),f(b)]$ ?

bd2017

Si on considère $\mu$ dans cet intervalle c'est surement parce que le minimum ne peut être atteint  en dehors.

gerard0

Bd2017,

ne pourrais-tu pas, pour une fois, laisser OS chercher vraiment seul ? Tu lui mâches encore le travail, alors qu'il n'a pas vraiment cherché, qu'il cherche toujours à comprendre le corrigé au lieu de faire cet exercice simple à sa sauce. Comme s'il devait absolument retrouver le corrigé. Même si tes réponses enfoncent les portes ouvertes

Cordialement.

NB : j'ai fait comme toi il y a 3 ou 4 ans avant de me rendre compte que je ne l'aidais pas, puisqu'il reposait ensuite les même questions dès que le contexte était différent.

OShine

J'aimerais bien savoir démontrer que le minimum ne peut être atteint en dehors de $[a,b]$. Apparemment c'est une évidence.

raoul.S

Essaie de prendre $\mu>f(b)$ et regarde. Pourquoi tu ne testes pas tout seul ?

PS. ah oui et quand tu testes n'oublie pas que $f$ est croissante surtout...

Dom

Chut ! Voyons ! Chuuuuuuuut 🤫🤫🤫😷

bd2017

@gerard 0 tu as raison, très souvent j'ai avance un peu le travail en espérant qu'Os continue. Ici j'n ai peut-être trop dit mais le peu qu'il reste à faire c'est encore de trop pour lui. 
De toute façon que nous lui donnions trop d'indications ou pas le résultat est nul. Il ne fait jamais une question de lui même,. Il travaille avec corrigé et en gros demande qu'on lui explique le corrigé.
Nous n'arrivons pas à le changer'. C'est un fait.
Mais je trouve un intérêt chez @os c'est qu il propose des exercices qui  me permette de faire encore peu des petites mathématiques . 

Dom

Voilà. Si on souhaite de la vraie bienveillance, il ne faut pas le laisser faire le travail par les autres. 

« L’aider » c’est justement ne pas « l’aider ». 

lourrran

 Comme quoi traiter des cas particuliers ne sert pas toujours.

Si, ça sert toujours, pour un étudiant qui a le niveau. 
Mais évidemment, pour quelqu'un qui n'a pas du tout le niveau, ça ne sert jamais. 

gai requin

Et même que si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$, alors le minimum vaut $F(a)+F(b)-2F(\frac{a+b}2)$ qui est bien $>0$ parce que $F$ est strictement convexe.

OShine

@gai requin c'est un résultat parachuté qui n'est pas dans le cours de MP ou MPSI.
Je n'ai rien compris. 
Je ne vois pas où utiliser que $f$ est croissante.
@raoul.S je ne vois pas quoi tester je ne comprends pas cet exercice.

Amédé

Tu peux aussi supposer $\mu<f(a)$ et aboutir à une contradiction en utilisant une certaine hypothèse et la définition de $\mu$...

gerard0

Toujours la réflexion idiote "n'est pas dans le cours de MP ou MPSI" qui montre bien ce que veut OS : des corrigés. Et comme il ne comprend pas les corrigés, il vient pleurer ici.

Pour l'instant, toujours aucune prise d'initiative. Aucune compréhension des indications qui lui sont données. Or cet exercice était accessible à un élève de terminale S quant il a passé ce bac. Donc aucun progrès réel depuis toutes ces années où il "fait" des exercices et "étudie" les cours de bac+1.

Je plussoie Dom : « L’aider » c’est justement ne pas « l’aider »

Math Coss

Menfin, si $\mu\le f(a)$, on connaît le signe de $|f(x)-\mu|$ et on peut comparer à  $|f(x)-f(a)|$ ! L'absurde ici, c'est absurde. 

bisam

@Oshine : Tu dis ne pas avoir compris pourquoi la valeur de $\mu$ en laquelle le minimum est atteint est forcément dans le segment $[f(a),f(b)]$... mais qu'as-tu fait pour essayer de le prouver ?

Tu cherches toujours à comprendre avant d'essayer de prouver. Malheureusement, tout le monde ne peut pas se payer le luxe de comprendre... mais ce qui est bien avec les maths, c'est qu'on n'est pas obligé de comprendre pour prouver des choses. Même des ordinateurs peuvent prouver des résultats : il suffit d'appliquer les règles de déduction.

La bonne question est donc : comment pourrait-on aboutir à ce résultat ?

Bien sûr, il est plus facile d'avoir une idée de quoi on parle, en se faisant une représentation mentale des choses (et par exemple, ici, un dessin n'est pas de trop), mais ça n'est pas indispensable.

Dom

Je quitte ce fil. 

gai requin

@OShine : Ah non, je ne connais pas grand chose en analyse donc j'ai fait des calculs de gros bourrin !
Pour tout $x\in[a,b]$,$$\varphi(x)=f(x)(2x-(a+b))-2F(x)+F(a)+F(b).$$Bon, ça, c'est niveau Terminale et on en déduit que $\varphi$ admet en $\frac{a+b}2$ un minimum strict avec un tout petit théorème niveau début de L1, heureusement pour moi !

OShine

@gai requin pour l'instant je n'ai pas encore fait les calculs donc je regarderai quand je serai arrivé à cette étape.
Ça m'a l'air très costaud quand même pour des terminales. 
J'ai mis 30 minutes pour trouver la contradiction.
Si $\mu < f(a)$ alors $\forall t \in [a,b], \ f(a) \leq f(t) \leq f(b)$ par croissance de $f$.
Donc $\forall t \in [a,b] ,\ f(a) - \mu \leq f(t) - \mu \leq f(b) - \mu$ donc $\forall t \in [a,b] ,\ f(t)- \mu >0$
Avec l'indication de @Math Coss  on doit comparer $u= |f(t)- \mu|=f(t)-\mu$ avec $v=|f(t)-f(a)|=f(t)-f(a)$
On a $u-v = f(t)- \mu -f(t)+f(a)=f(a)- \mu >0$ donc $\boxed{\forall t \in [a,b] ,\ |f(t)- \mu | > | f(t)-f(a)|}$
Par passage à l'intégrale, $\displaystyle\int_{a}^b |f(t)-f(a)| dt < \displaystyle\int_{a}^b |f(t)-\mu| dt$
C'est absurde par définition de $\mu$.
Donc $\mu \in [f(a),f(b)]$ et comme $f$ est continue sur $[a,b]$ d'après le théorème des valeurs intermédiaires, toutes les valeurs de $f$ entre $f(a)$ et $f(b)$ sont atteintes donc il existe $x \in [a,b]$ tel que $\mu= f(x)$
Le corrigé a quand même sauté plusieurs étapes et ne démontre rien. 
Maintenant je vais pouvoir étudier $\varphi(x)=\displaystyle\int_{[a,b]} | f-f(x)|$

raoul.S

Le corrigé a sauté des étapes car elles sont évidentes... Sur un dessin il est évident que si $\mu<f(a)$ alors$|f(x)-f(a)|<|f(x)-\mu|$.

OShine

Ok merci j'ai réussi mais l'exercice est difficile infaisable pour un terminale.

skazeriahm

Quand tu dis que tu as réussi et que tu nous postes ces photos, tu veux dire que tu as réussi à recopier le corrigé ?

OShine

J'ai refait les calculs par moi-même. Le fait de découper l'intégrale en $2$ parties je l'avais vu par moi-même en faisant l'exemple $f(x)=x$.

Le corrigé fait 3 lignes et n'explique rien. 

parhasard

@Oshine. Bonsoir, Pour prouver que  $\mu \in [f(a),f(b)]$ ; pourquoi ne pas exploiter simplement la croissance de $f$ ? On a trivialement $a<(a+b)/2<b$, et en exploitant la stricte croissance de $f$ sur son intervalle de définition, $f(a) <f((a+b) /2)<f(b)$ or par hypothèse $f((a+b) /2)$ est égal à...? 

gerard0

Attention, Parhasard,

ne connaissant pas O Shine, tu viens de te faire piéger par un prof certifié (non, ce n'est pas un étudiant) ras les pâquerettes qui fait des exercices sans comprendre, en se faisant aider par les intervenants qui ont pitié de lui ; et ce, depuis des années.

Cordialement.

parhasard

Aie, je vous le laisse alors 😂 Bonne soirée 

OShine

@parhasard ton raisonnement ne tient pas.

On ne sait pas que $\mu= f( \dfrac{a+b}{2})$, c'est ce qu'on veut démontrer.

parhasard

C'est exact, je m'incline alors) Ma première intervention est ratée... 

Amédé

@gerard0 : J'espère que tu ne mets pas tous les certifiés dans le même panier.

lourrran

J'ai refait les calculs par moi-même.

Au collège, c'est ce qu'on attend des élèves, savoir faire les calculs.
Au lycée et dans le supérieur, l'élève doit deviner quels calculs il faut faire. Et savoir faire les calculs, c'est un prérequis, c'est une compétence qui a été validée en fin de collège.

Je parle du collège et du lycée des années 80. Il est évident qu'aujourd'hui, tous ces repères ont sauté, On peut être prof sans maitriser ce qu'on attendait d'un lycéen il y a 40 ans.

gerard0

Amédé,

bien sûr que non ! J'ai d'ailleurs moi-même été longtemps certifié. Et si je le qualifie de "ras les pâquerettes", c'est bien que ce n'est pas un certifié ordinaire.

Cordialement.