Exercice complexe, rationnel et entier naturel

bestM

Bonsoir, HELP!!

Quelqu'un pourrait-il me dire comment attaquer un tel exercice

Soient $n \in \mathrm{N}$ et $c \in \mathrm{Q}^{*}$ tels que $(c+i)^{n}=(c-i)^{n}$. Montrer que $c=\pm 1$ et $n \equiv 0[4]$.

A priori, j'ai démontré que que $c = \tan\left(\frac{k\pi}{n}\right)$ pour $k$ compris entre $1$ et $n-1$.
D'avance merci pour votre aide,
bestM

Fin de partie

On a $\left(\dfrac{c-i}{c+i}\right)^n=1$ on peut donc en déduire les valeurs possibles de $\dfrac{c-i}{c+i}$

bestM

 C'est ce que j'ai fait, on trouve les racines n- ième de l'unité, mais après ?

LOU16

Bonsoir,

Tu as en effet mis en évidence les valeurs possibles pour $c$, mais il y a une petit erreur: $ (c-\mathrm i)^n = (c +\mathrm i)^n \iff c \in \left\{\mathrm {cotan }\left(\dfrac { k \pi}{n}\right) \mid k \in [\![1;n-1]\!]\right \}.$

 Je te suggère alors l'argument suivant. Soit $\theta= \dfrac {k\pi}n\: $ tel que $ c= \mathrm {cotan}\: \theta.\:\: $ Alors:$ \:\: 2\dfrac {c^2-1}{c^2+1}= 2\cos(2 \theta) \in\Q.$

Or $2\cos(2 \theta)$ est $\text{ un entier algébrique} $ , c'est-à-dire une racine d'un polynôme unitaire à coefficients entiers, et tout élément de $\C$ qui est à la fois rationnel et entier algébrique est un élément de $\Z$, (ces deux points  ne sont pas difficiles à établir). Ainsi: $\:\:\:2\cos(2 \theta )\in \Z.$

$2\cos(2\theta) \in \{0;\pm1;\pm2\}.\:\:$ Cela te permet de recenser toutes les valeurs possibles pour $\dfrac {k \pi}n $ et d'atteindre la conclusion visée.

"$2\cos(2\theta) \text {  est un entier algébrique }$" n'est en fait pas complètement immédiat.

On peut par exemple s'en convaincre en observant que $2\cos(2\theta)$ est une valeur propre de la matrice $A = J+J^{-1} \in \mathcal M _n(\Z)$ où $J\in \mathcal M_n(\Z)$  est définie par $J_{ij} =\left\{ \begin{array} {cl} 1& \text{ si } i-j\equiv 1 \mod n \\ 0& \text{ sinon}\end{array} \right.\quad $ ( $X^n-1\:$ est le polynôme minimal de $J$, et $J$ est diagonalisable dans $\mathcal M_n(\C). $)