Preuve de la conjecture de Grimm

babsgueye

Il s'agit ici de la conjecture de Grimm. Je l'ai connue et résolue en moins de 24 heures. Je le soumets alors à vos critiques.

Enoncé :

Supposons que $n + 1, n + 2,\cdots, n + k$ soient tous des nombres composés, alors il y a $k$ nombres premiers distincts $p_{i}$ tels que $p_{i}$ divise $n + i$ pout $1\leq i\leq k$.

On va ici, en utilisant un raisonnement par l'absurde démontrer cette conjecture.

PREUVE DE LA CONJECTURE

Soient $n + 1, n + 2,\cdots, n + k$ où $n, k\,\in\mathbb{N}^*$ une liste de $k$ nombres composés consécutifs.

Par un raisonnement par l'absurde, on va montrer qu'il y a $k$ nombres premiers distincts $p_{i}$ tels que $p_{i}$ divise $n + i$ pout $1\leq i\leq k$.

Supposons qu'il existe un nombre $n + x,\,1\leq x\leq k$, tel que tous ses facteurs premiers soient chacun un facteur d'un autre nombre de la liste.

Alors $\exists A\in\,\mathbb{N}^*,\,\prod_{i=1}^{k}(n + i) = rad(n + x)(n + x)A$ (où rad(n + x) est le radical de $n + x$, c'est-à-dire, le produit des facteurs premiers de $n + x$).

Mais alors $(n + x)A = \dfrac{n + x}{rad(n + x)}\prod_{i=1,i\neq x}^{k}(n + i)$.

On a alors $\dfrac{n + x}{rad(n + x)}\prod_{i=1,i\neq x}^{k}(n + i)\equiv 0\bmod{(n + x)}$.

Ce qui équivaut à dire $\exists m < k,\,\dfrac{n + x}{rad(n + x)}\prod_{j=-m,j\neq 0}^{k-m-1}(n + x + j)\equiv 0\bmod{(n + x)}$.

Mais d'après le postulat de Bertrand ou théorème de Tchebychev qui affirme qu'entre un entier supérieur à 1 et son double, il y a un nombre premier, on a alors $k < n < n+ x$. Ce qui implique :

$\exists m < n + x,\,\dfrac{n + x}{rad(n + x)}\prod_{j=-m,j\neq 0}^{k-m-1}(n + x + j)\equiv 0\bmod{(n + x)}.\quad (1)$

Mais tous les facteurs du produit sont différents de 0 modulo $n + x$ (c'est évident pour les autres facteurs du produit, et le facteur $\dfrac{n + x}{rad(n + x)}$ qui est $\geq 1$ et inférieur à $n + x$, est alors lui aussi, différent de 0 modulo $(n + x)$).

D'où l'absurdité de l'équivalence $(1)$, et donc on peut dire qu'il n'existe point de nombre $n + x,\,1\leq x\leq k$, tel que tous ses facteurs premiers soient chacun un facteur d'un autre nombre de la liste.

Alors pour chaque nombre de la liste on peut choisir un facteur premier qui n'est facteur d'aucun autre nombre de la liste.

Cqfd.

Edit : modifié d'après la remarque de @Zgrb.

bd2017

Bonjour

 Edit  J'avais un doute  sur ce que j'avais  dit et j'ai donc supprimé mon message. Mais je vois que  @Poirot dit la  même chose.

Bref  tu crois vraiment trouver la solution d'un problème  que personne n'a su démontrer et sans savoir raisonner?

Poirot

Ton hypothèse par l'absurde n'entre pas en contradiction avec l'énoncé. Je n'ai même pas lu la suite.

Zgrb

Ce qui équivaut à dire $\exists m < k,\,\dfrac{n + x}{rad(n + x)}\prod_{j=-m,j\neq 0}^{k+m}(n + x + j)\equiv 0\bmod{(n + x)}$.

Cette ligne est incorrecte.
Déjà, il est étrange de poser un m alors que l'on sait, si tu veux que j commence à -m, que m = x-1.
Et pour l'erreur, le produit va de j=-m à j=k-m-1 et non de -m à k+m

Zgrb

$\exists m < n + x,\,\dfrac{n + x}{rad(n + x)}\prod_{j=-m,j\neq 0}^{k+m}(n + x + j)\equiv 0\bmod{(n + x)}.\quad (1)$

Mais tous les facteurs du produit sont différents de 0 modulo $n + x$ (c'est évident pour les autres facteurs du produit, et le facteur $\dfrac{n + x}{rad(n + x)}$ qui est $\geq 1$ et inférieur à $n + x$, est alors lui aussi, différent de 0 modulo $(n + x)$).

Ensuite, et c'est plus grave, tu utilises une propriété fausse : 
Si un produit de facteurs est nul modulo n, cela ne signifie pas qu'un des facteurs est nul modulo n.
Ex : 15 x 14 est congru à 0 modulo 6, alors que ni 15 ni 14 ne sont congrus à 0 modulo 6.

lourrran

Pour les différentes conjectures que tu cherches à démontrer, si la démonstration pouvait se faire en 50 lignes, ou même en 50 pages, ces conjectures auraient été résolues depuis longtemps.
Récemment, 3 types ont démontré une conjecture qui résistait depuis longtemps, leur démonstration fait une centaine de pages. 

Forcément, ta démonstration est fausse. Inutile de la lire. Et même si elle venait de types reconnus pour leur compétence, je dirais la même chose. Ces conjectures compliquées ne se démontrent pas en 20 lignes, mais en 100 pages.

Comme en plus tu as prouvé à chaque fois que tu faisais des erreurs qu'un lycéen ne devrait pas faire...

babsgueye

@Zgrb j varie de  -m à k-m-1 est ce que j'avais déjà écrit, certainement je me suis embrouillé après pour l'avoir changé. Je vais bien regarder, tu dois avoir raison.
L'autre remarque est bien une faute de raisonnement. Je vais voir ce qu'on pourra faire.
Merci.

depasse

Bonjour
je détaille ce que t'a dit Poirot: 
"Il existe $i$ tel que $n+i$ ait pour seuls facteurs premiers les différents $p_j (j \neq i)$" n'est pas la négation de la conjecture de Grimm. 
Par exemple, il se pourrait que $n+1=p_1p'_1n_1, n+j =p_j n_j (2\leq j \leq k-1) , rad(n+k)=p_1....p_{k-1}$ et que$p'_1$  soit distinct des $p_j (1\leq j\leq k-1)$.
En espérant ne pas trahir Poirot!

Dom

Jacob Grimm et Wilhelm Grimm méritent l’entièreté de leurs patronymes. 

kioups

Excellent Dom !

babsgueye

@depasse, en fait ce que j'ai voulu démontrer est plus fort que la conjecture de Grimm. Je l'ai remarqué après mais je me disais que si ça tient la conjecture est démontrée. 

lourrran

Je l'ai connue et résolue en moins de 24 heures

J'avais zappé cette phrase... 
Cette phrase à elle seule montre que tu ne fais pas des maths, mais autre chose.
Tu frimes , tu exhibes tes qualités <<supérieures>>,  ... c'est ce que tu veux faire.

En fait, tu montres que tu es incapable de faire des maths, et en plus, incapable d'évaluer la difficulté d'un problème.

depasse

Bon, j'itère mon message. J'ai dû faire une erreur en croyant l'avoir envoyé. En effet, je préfère commencer par douter de moi.
Je disais à Babsgueye de se méfier des jaculations précoces, autrement dit de ces enthousiasmes débordants (c'est la définition de "jaculations") qui sont trop rapidement exprimés (c'est la définition de "précoces").
Alors que de mon message il déduisait qu'il avait en fait prouvé mieux que la conjecture de Grimm (mon message signifiant qu'en vérité qu'il n'avait rien prouvé du tout), je me suis permis de lui proposer d'exhiber en quoi la conjecture de Grimm était un résidu, disons un corollaire, de ses élucubrations géniales.
Un instant, je le confesse, je suis passé par la case Parano et ai cru qu'un jeu de mots éculé m'avait fait censurer.

b.b

« résolue en moins de 24 heures. Je le soumets alors à vos critiques. » Quelle force comique !   

Fin de partie

Le comique de répétition a ses limites.

babsgueye

@depasse j'ai dit que ce que j'ai voulu démontrer est plus fort que la conjecture (effectivement ce que j'ai voulu démontrer ne tient pas) mais ça n'a rien à voir avec ton message. Je l'ai constaté de moi mème.

Svp, supposez maintenant qu'on vous propose un problème, en donnant ce qu'on y a fait. C'est dans la logique du forum non !

Maintenant je pense qu'il suffit de montrer que $rad\big((n+1)(n+2)\cdots (n+k)\big)$ a au moins $k$ facteurs. 
Mais à cause du théorème de Tchebychev, parmi les $n + i$ avec $1\leq i\leq k$, il n'y a aucun pair des nombres dont l'un est un multiple de l'autre. 
Ce qui implique que : $\forall i,\,j$ avec $1\leq i\neq j\leq k$ on a $NF\big(rad(n + i, n + j)\big)\geq 2$ (où $NF\big(rad(n + i, n + j)\big)$ désigne le nombre de facteurs de $rad(n + i, n + j)$).
Ma question est que : est-ce-que cette dernière propriété permet de conclure? A savoir de dire que $NF\Big(rad\big((n+1)(n+2)\cdots (n+k)\big)\Big)\geq k$.

lourrran

Tu ne lis pas les réponses qu'on te fait.

La démonstration de la conjecture, si elle existe, fait au moins 50 pages.  Tous les trucs possibles et imaginables qu'on peut griffonner sur une page ont déjà été testés des centaines de fois par des centaines de chercheurs. 
Quand Grimm a découvert cette propriété, il a passé plus de 24  heures à chercher une démonstration. Il y a passé des mois, c'est certain. Et il avait un niveau sérieux, plus qu'un niveau collégien. Et il n'a pas trouvé. 
Et toi, tu penses qu'en cherchant 24 heures, tu vas trouver une piste intéressante ? En 24 heures, tu vas trouver un truc que des matheux connus et reconnus n'ont pas trouvé en cherchant des mois. Tu prends Grimm et l'ensemble des mathématiciens reconnus pour des abrutis ? C'est ça ?

Si tu respectes Grimm, alors tu apprends les cours du lycée, tu cherches, tu cherches, et tu proposes une piste quand tu auras un truc sérieux, dans 200 ans.

babsgueye

Prière à ceux qui n'ont rien à dire sur la partie mathématique de ce sujet de ne pas intervenir !

Dom

Il n’y a PAS de partie mathématique. 

C’est un conte, comme je l’ai dit tout de suite. 

C’est comme dit tu disais : « prière à ceux qui ne font pas de maths de ne pas venir sur ce forum ». 

Tu vois bien que tu n’es pas cohérent avec tes principes. 

noix de totos

Ne pourrait-on pas avoir des conjectures dans d'autres branches que la théorie des nombres, pour changer ?

En tant qu'arithméticien, je signale qu'aucun des grands problèmes de théorie des nombres ne peut être résolu sur un forum. Aucun !

Noix de totos.

Rescassol

Bonjour,

Il n'y a pas de partie mathématique sérieuse, c'est un spectacle comique, je viens pour en rire.

Cordialement,
Rescassol

gerard0

"Prière à ceux qui n'ont rien à dire sur la partie mathématique de ce sujet de ne pas intervenir ! "

On n'a pas plus de raison d'accéder à cette demande absurde que de croire tes "démonstrations".

Et si tu arrêtais de venir te ridiculiser ?

lourrran

Je pense que tu réagissais à mon message ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2346257/#Comment_2346257

Il y a plus de mathématiques dans ce message que dans tes messages. Il y a un raisonnement, correct. 

Grimm était un mathématicien sérieux, brillant. Il a forcément cherché à démontrer ce résultat qu'il a découvert. Tu contestes ça ? 
Il a passé des mois, voire des années sur cette question. Tu contestes ça ?
Et toi, tu dis : La réponse, elle tient en une page et la voilà. 

Tu penses vraiment que Grimm était nul au point de ne pas faire les 3 calculs que tu viens de faire ?   
Tu penses vraiment que Grimm était un abruti ?
Et tu penses vraiment que tous les mathématiciens qui se sont mis à chercher sérieusement sur cette conjecture sont tous des abrutis ?

Arrête de penser que les autres sont tous des abrutis, et tu grandiras.

babsgueye

@lourrran n'ait pas pitié de moi. Laisse-moi me casser une dent sur ça.

Bien sur @NdT les abrutis sont ceux qui interviennent dans des forum de maths, surtout sur des conjectures en arithmétique ( j'ai démontré la conjecture de Brocard dans ce forum, si tu savais pas).

Dom

Non, non, tu n’as rien démontré dans ce forum, au moins en terme de conjecture. 

Tu as le droit d’annoncer des choses fausses. 

Quiconque a le droit rétablir les faits. 

gerard0

Que peut-on faire quand un intervenant ment délibérément pour se faire mousser ?

lourrran

Tu peux chercher sur cette conjecture, aucun problème !
Tu peux poster des messages en disant que tu n'as rien trouvé, tout le monde te croira.
Tu peux te ridiculiser en disant que tu as trouvé, et poster une démonstration totalement fausse comme tu le fais régulièrement.
Tu peux te ridiculiser en disant que tu as une piste et que tu demandes de l'aide.

Essaie juste de retenir une chose : sur cette conjecture, comme sur les autres, des gens très brillants ont beaucoup travaillé, toutes les démonstrations qu'on pourrait écrire sur 2 ou 3 pages ont déjà été faites, et toutes se sont avérées fausses.

df

gerard0,

on peut ne pas intervenir de façon à ce qu’il n’ait pas l’occasion de se faire mousser.
On peut supprimer les comptes de ceux dont les interventions se résument à insulter la science mathématique et donc toutes celles et ceux qui l’exercent !
On peut bannir pendant quelques jours.
On peut aussi supprimer ce sous-forum: quand un (VRAI) mathématicien a une hypothèse ou croit avoir démontré quelque chose, il peut très bien s’exprimer sur les sous-forums classiques.
Si il y a une pertinence mathématique, il n’y a pas de raisons de se retrouver dans la poubelle du forum.
Ici, il n’y a que des zozos qui viennent exprimer leur mal-être. C’est drôle au début mais ça devient vite lassant. Et puis ça nuit à l’image du site !

Enfin… on peut faire plein de choses !

df

J’ai parfois (mais rarement quand même) dérogé à ces règles. Cette fois, c’est bien la dernière !

Dom

Je suis d’accord. 

Disons qu’un nouvel intervenant pourrait proposer des choses. Et il existe des discussions Shtam intéressantes, et qui ont bien tourné. 

Mais quand c’est récurrent, toujours les deux ou trois mêmes zozos, c’est peut-être une bonne chose de les laisser déblatérer des âneries, sans intervenir.

J’y réfléchis plus sérieusement en ce moment.

lourrran

La catégorie SHTAM porte bien son nom. SHTAM, c'est MATHS à l'envers.  Elle ne s'appelle pas RECHERCHE, ni DECOUVERTES. Et c'est évidemment voulu.
Le sous-titre est peut-être ambigu :  'Réservé aux amateurs pensant avoir démontré un résultat important ou difficile'

Je propose :
'Réservé aux farfelus pensant avoir démontré un résultat important ou difficile'
'Réservé aux amateurs imaginant avoir démontré un résultat important ou difficile'
'Pour les zozos imaginant avoir démontré un résultat important ou difficile'

La 2ème proposition me plait bien ... 'imaginant' me paraît beaucoup plus adapté que 'pensant'.

Babsgueye par exemple prend le sous-titre au 1er degré. Il n'a pas vu que SHTAM, c'était MATHS à l'envers.

raoul.S

babsgueye a dit :

j'ai démontré la conjecture de Brocard dans ce forum, si tu savais pas.

Encore oublié tes médicaments, comme Pablo on dirait...

babsgueye

@raoul.S j'ai bien pris mes médicaments. Va relire ma démo et dis moi ce qui cloche.
Pourtant je vois bien dans ce forum des gens que je trouve capable de démontrer un résultat réputé difficile voir une vieille conjecture.
Je pense que si tu as le niveau de la maitrise, tu es capable de s'auto former jusqu'à pouvoir sortir n'importe quel résultat en mathématiques d'une grande importance ; il faut juste avoir le temps.
Un mec qui fréquente un forum, qui a un bon niveau en maths, s'il prouve une conjecture, je ne vois pas pourquoi il ne le posterait pas dans ce forum (il suffit d'un copier-coller). Alors quand @NdT dit qu'une conjecture ne peut être prouvée dans des discussions dans un forum, je n'arrive pas à le comprendre. Mais seulement pour démontrer une conjecture, il faut d'abord croire qu'on en est capable. Apparemment c'est pas le cas de @lourrran et de beaucoup d'autres ici.

gerard0

"pour démontrer une conjecture, il faut d'abord croire qu'on en est capable."

Malheureusement, ce n'est pas suffisant, loin de là !! Il faut aussi avoir un minimum de capacités en maths, pour pouvoir savoir ce qu'est une démonstration. Croire qu'on en rédige alors que ce n'est pas le cas rend la preuve systématiquement fausse. Tu en as produit toute une série d'exemples.

Et il n'y a qu'à regarder ton premier message de cette discussion pour comprendre que tu crois au Père Noël !!

Dom

Tu n’es pas apte pour évaluer les capacités des autres. Tu ne fais déjà pas de mathématiques donc c’est un peu comme un si tu allais évaluer quelqu’un en japonais alors que tu ne le parles pas. 

raoul.S

babsgueye a dit :

Va relire ma démo et dis moi ce qui cloche.

Non, j'en ai lu tellement, toutes fausses. Ça m'a saoulé...

babsgueye

@raoul.S, c'est pareille pour la conjecture du coureur solitaire, vous dites que c'est faux, sans jamais pointer où se trouve une erreur. C'est vos paroles contre la mienne quoi ! C'est trop simple de dénigrer comme ça. C'est certainement des réactions par effet de surprise, mais c'est comme ça. En pleine journée, si tu as envie de dire que le soleil n'est pas là, tu le dis, et personne n'y peut rien. C'est ce que vous faites.

Pour revenir au sujet qui nous rassemble ici
Je suis arrivé à une piste :  décompter les nombres premiers $p$ tels qu'il existe un entier $i\gt 1$ tel que $n\lt p^i\leq n + k$ (dans les notations ci-dessus dans la tentative) et comparer le nombre trouvé (le nombre de nombres premiers vérifiant la double inégalité) et $k$.
Que sait-on en rapport à cette double inégalité ?
Merci. : 

Edit : je pense bien que c'est $i\gt 1$ au lieu de $i$ non nul.

bd2017

Bonsoir, @babsgueye après relecture, je trouve  que tout ce que  tu as fait est parfait.  Pour avoir fait  cela en 24H tu dois épuisé.  Pour ta santé il ne faut pas t'attaquer  à une nouvelle conjecture. Prend un délai d'au moins un mois et profite bien tu repos mérité.

lourrran

Qi J'écris : Généralement, la lune se schtroumpfe.
Es-tu capable de trouver l'erreur ?  Non.
Voilà, j'ai donc démontré que la lune se schtroumpfe.
Maintenant, je vais démontrer toutes les conjectures qui sont réputées difficiles. Et personne ne trouvera l'erreur. Et mes démonstrations seront donc correctes.

Pardon, je rectifie : 
Généralement, la lune se schtroumpfe. Cqfd.

babsgueye

@lourrran, on est en maths, il s'agit de sciences exactes pas de littérature ni de philosophie ou de psychologie. Les erreurs, les bons en maths les voient impérativement. Les non sens pareillement.

@bd2017 merci, je prends note

noix de totos

J'avoue avoir hésité à répondre, pour ne pas alimenter le troll, mais, bon, comme je ne viens plus vraiment souvent ici, je prends un peu de temps pour le faire

Essayer d'établir une conjecture est quelque chose d'extrêmement particulier en mathématiques.

(i) La 1ère chose à faire est de se documenter à fond dessus : lire le maximum d'articles, de travaux de recherche divers, essayer de comprendre pourquoi c'est toujours une conjecture, etc.

(ii) Ensuite, il faut se poser les bonnes questions : ai-je les connaissances et les compétences nécessaires et suffisantes pour aborder le problème ? Pourquoi pourrais-je, moi, être en mesure de le résoudre, alors que d'autres brillants esprits ont déjà maintes fois essayé ? À défaut, si je n'y arrive pas, que pourrais-je apporter de nouveau ?

(iii) Enfin, si l'on est persuadé d'avoir réussi, alors il faut faire lire son travail par un comité professionnel de lecture, spécialiste du domaine dans lequel vit la conjecture. L'une des premières choses à faire est de le soumettre à arXiv, en précisant, par exemple, que les commentaires sont bienvenus, puis de le soumettre à un journal spécialisé.  Je pense que le passage par arXiv en premier lieu est important : on voit régulièrement des manuscrits comportant une faute, que l'on signale alors à son auteur, ce qui lui évite un rejet de son travail par un journal, et épure aussi la recherche.

Ces trois points montrent bien l'extrême complexité de la tâche, et le temps, nécessairement (très) long, pour y aboutir. En particulier, un forum n'est, par définition, pas du tout le lieu pour ça.

En revanche, ce qui serait bien plus intéressant à mon sens, et mieux adapté au format du forum, serait la chose suivante : considérer une conjecture quelconque, puis en faire un état des lieux (un survey, comme disent les anglophones).  Énoncer clairement le problème, évoquer son histoire, parler des grands mathématiciens qui lui sont associés, indiquer où en est la recherche, quelles ont été les nouvelles idées, que peut-on espérer dans les prochaines années, etc.

Ça, ça vaudrait sûrement le coup : c'est un vrai travail, pas facile à faire, et qui pourrait intéresser pas mal de lecteurs.

lourrran

Faire un état des lieux, etc, que peut-on espérer,  etc.
Dans quel but ?
Faire un groupe de recherche ?
Ou bien simplement (euh, ça ne doit pas être simple du tout !) faire un état des lieux ?

Toute ton introduction nous dit que c'est la 2ème réponse, mais comme on dit chez moi : ça va sans dire, mais ça va mieux en le disant.

babsgueye

Merci @noix de totos . Est ce que arXiv accepte des manuscrits en langue française ?

Je suis arriver à montrer que la conjecture est vraie sous la conjecture de Legendre.
Je le rédigerais plus tard, mais pour le moment, c'est ça l'indication. 
Quelqu'un pourra peut-être ici, essayer de le rédiger.

Dom

Quelqu'un pourra peut-être ici, essayer de le rédiger.🤣🤣🤣🤣

Rescassol

Bonjour,

> Quelqu'un pourra peut-être ici, essayer de le rédiger.

Tu plaisantes ? Tu voudrais qu'on ne te rédige tes élucubrations ?

Cordialement,
Rescassol

lourrran

Si tu as un peu de temps dans l'après-midi, pourrais-tu compléter la démonstration la conjecture de Syracuse ?  Il y a des bases dans cette discussion :https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2328727/un-tour-en-orbite-autour-de-larbre-de-collatz#latest

Ca permettrait au monde mathématique de clôturer ce dossier compliqué, tous les mathématiciens du monde t'en seraient reconnaissants.

Dom

On pourrait proposer la conjecture à un intervenant régulier qui ne trouve ses solutions que dans les corrections de son livre. 

Lui, il arrive à faire rédiger tout le travail par des autres. 

babsgueye

@Rescassol, si tu sais le rédiger, ce ne sera certainement pas des élucubrations.

@lourrran Syracuse je connais. Je ne suis pas arrivé à le résoudre, comme beaucoup d'autres d'ailleurs.

@Dom, de toute façon, de moi, tu diras que c'est des maths à l'envers, alors je donne des indications et laisse aux autres le soin de le rédiger. Ca devrait être ma meilleure attitude pour toi.

noix de totos

arXiv accepte la langue française, comme d'autres langues.

Tu peux, par ailleurs, préciser que ton manuscrit est en français lors du processus de soumission.

Dom

Le gars qui n’a peur de rien : « […] alors je donne des indications et laisse aux autres le soin de le rédiger »

Ça va, tu veux aussi qu’on repasse tes chemises ?

Fin de partie

babsgueye a dit :

Syracuse je connais. Je ne suis pas arrivé à le résoudre, comme beaucoup d'autres d'ailleurs.

Ben alors ? Tu te laisses aller ! Il faut que tu t'y consacres séance tenante, et reviens l'année prochaine, ou l'année suivante, pour nous parler de ta "démonstration", car je suis sûr que cela ne sera qu'une formalité pour toi de démontrer cette conjecture.