Perspecteur sur la droite d'Euler

Bouzar

Bonjour
Je propose ce problème.

Soient $ABC$ un triangle et $A'B'C'$ le triangle podaire de $H$ par rapport à $ABC.$
On note $K_a,  K_b, K_c$ les points de Lemoine des triangles $HBC, HCA, HAB.$
1.  Montrer que $A'B'C'$ et  $K_aK_bK_c$ sont en perspective et déterminer le perspecteur.
2. Le perspecteur est-il sur la droite d'Euler du triangle $ABC$ ?
3. Pour quels triangles (autres qu'orthiques) le triangle $K_aK_bK_c$ est-il perspectif (ou semblable ou orthologique ou parallélogique) ?

Amicalement.

pldx1

Bonjour.
X(25), oui, aimable courbe de degré 9. 
Cordialement, Pierre.

Bouzar

Bonsoir Pierre et merci

Peux-tu donner la courbe de degré 9 ainsi que la façon de l'obtenir.

Amicalement.

Rescassol

Bonsoir,

Avec Morley circonscrit, classée par degré (j'ai la flemme de la mettre mieux en forme):

4*s3^2*z^6*zB^3 
- 4*s2*s3^2*z^5*zB^4 
+ 4*s1*s3^3*z^4*zB^5 
- 4*s3^4*z^3*zB^6 

- 6*s2*s3*z^6*zB^2 
+ 6*s3*(s2^2 - s1*s3)*z^5*zB^3 
+ 6*s3^3*(-s1^2 + s2)*z^3*zB^5 
+ 6*s1*s3^4*z^2*zB^6 

+ 2*(s2^2 + s1*s3)*z^6*zB 
+ (-2*s2^3 + 7*s1*s2*s3 - 9*s3^2)*z^5*zB^2 
- s3*(-8*s3*s1^2 + 7*s1*s2^2 + s3*s2)*z^4*zB^3 
+ s3^2*(7*s1^2*s2 + s3*s1 - 8*s2^2)*z^3*zB^4 
+ s3^3*(2*s1^3 - 7*s2*s1 + 9*s3)*z^2*zB^5 
- 2*s3^4*(s1^2 + s2)*z*zB^6 

- (s3 + s1*s2)*z^6 
+ 2*(- 3*s3*s1^2 - s1*s2^2 + 8*s3*s2)*z^5*zB 
+ (-4*s1^2*s2*s3 + 3*s1*s2^3 + 2*s1*s3^2 + s2^2*s3)*z^4*zB^2 
- 8*s3*(s3*s1^3 - s2^3)*z^3*zB^3 
- s3^2*(3*s1^3*s2 + s3*s1^2 - 4*s1*s2^2 + 2*s3*s2)*z^2*zB^4 
+ 2*s3^3*(s1^2*s2 - 8*s3*s1 + 3*s2^2)*z*zB^5 
+ s3^4*(s3 + s1*s2)*zB^6 

+ 3*(s1^2*s2 + s1*s3 - 2*s2^2)*z^5 
+ s3*(6*s1^3 - 19*s2*s1 + 9*s3)*z^4*zB 
+ (4*s1^3*s2*s3 - s1^2*s2^3 + 14*s1^2*s3^2 - 8*s1*s2^2*s3 - 2*s2^4 - 3*s2*s3^2)*z^3*zB^2 
+ s3*(2*s1^4*s3 + s1^3*s2^2 + 8*s1^2*s2*s3 - 4*s1*s2^3 + 3*s1*s3^2 - 14*s2^2*s3)*z^2*zB^3 
- s3^2*(6*s2^3 - 19*s1*s2*s3 + 9*s3^2)*z*zB^4 
- 3*s3^3*(- 2*s3*s1^2 + s1*s2^2 + s3*s2)*zB^5 

+ (-3*s1^3*s2 - 3*s3*s1^2 + 9*s1*s2^2 - 5*s3*s2)*z^4 
+ 2*(-s1^4*s3 + s1*s2^3 - 7*s1*s3^2 + 7*s2^2*s3)*z^3*zB 
- (s3*s1^3 - s2^3)*(9*s3 + s1*s2)*z^2*zB^2 
- 2*s3*(s1^3*s2*s3 + 7*s1^2*s3^2 - s2^4 - 7*s2*s3^2)*z*zB^3 
+ s3^2*(-9*s1^2*s2*s3 + 3*s1*s2^3 + 5*s1*s3^2 + 3*s2^2*s3)*zB^4 

+ (s1^4*s2 + s1^3*s3 - 2*s1^2*s2^2 + 8*s1*s2*s3 - 6*s2^3 - 2*s3^2)*z^3 
+ (3*s1^3*s2*s3 + 7*s1^2*s3^2 - 6*s1*s2^2*s3 - 2*s2^4 - 10*s2*s3^2)*z^2*zB 
+ s3*(2*s1^4*s3 + 6*s1^2*s2*s3 - 3*s1*s2^3 + 10*s1*s3^2 - 7*s2^2*s3)*z*zB^2 
+ s3*(6*s1^3*s3^2 + 2*s1^2*s2^2*s3 - s1*s2^4 - 8*s1*s2*s3^2 - s2^3*s3 + 2*s3^3)*zB^3 

+ (-s1^3*s2^2 - 4*s1^2*s2*s3 + 4*s1*s2^3 + 3*s1*s3^2 + 2*s2^2*s3)*z^2
- 2*s3*(s3*s1^3 - s2^3)*z*zB 
- s3*(4*s1^3*s2*s3 - s1^2*s2^3 + 2*s1^2*s3^2 - 4*s1*s2^2*s3 + 3*s2*s3^2)*zB^2 

+ s3*(s3 - s1*s2)*(-s1^2 + 3*s2)*z 
- s3*(s3 - s1*s2)*(-s2^2 + 3*s1*s3)*zB

=0

Cordialement,
Rescassol

Bouzar

Bonjour et merci Rescassol.

Swingmustard

Bonjour,

Pouvez-vous rappeler ce que signifie que deux triangles sont en perspective ? Le terme perspecteur m'est aussi inconnu.

D'après ce que vous dites tous les trois, on peut supposer qu'il s'agit ici (et en général, quand il existe) du point de concours de $A'K_a$, $B'K_b$, $C'K_c$.

Mais encore  ? Est-ce que ces deux termes sont des termes "nouveaux" pour une notion ancienne, ce qui expliquerait que j'ai l'impression de les lire rarement dans les livres, et n'empêcherait pas que la notion s'y trouve ?

Amicalement,

Swingmustard