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Définitions précises

Modifié (4 Mar) dans Fondements et Logique
Bonjour
Il s'agit d'une question et d'une curiosité sur les bases des définitions en mathématiques. En étudiant différents livres, nous pouvons observer comment certains auteurs abusent des notations et du langage, qu'ils en avertissent ou non le lecteur. Les théorèmes peuvent être des conditions nécessaires, des conditions suffisantes ou les deux. Cependant, ma question est la suivante : toutes les définitions sont-elles rédigées en langage "si, et seulement si" ? Par exemple : certaines définitions sont écrites comme ceci :
Déf 1.1. Si $P$ satisfait la propriété $Q$, alors $P$ est dans $Q$.
Cette définition est rédigée comme un conditionnel, mais comme il s'agit d'une définition, elle ne devrait pas être rédigée comme suit :
Def 1.2. $P$ satisfait la propriété $Q$, si et seulement si, elle est dans $Q$?
Je dis tout cela en me référant à une définition et bien sûr pas en me référant à un théorème logique dans lequel ceci n'est clairement pas vrai. Pour formaliser un peu mieux ma question : toutes les définitions sont-elles écrites avec un biconditionnel, implicitement ?
Merci.

Réponses

  • Une question : pourquoi as-tu publié cette question dans : "fondements et logique" ?
  • Modifié (4 Mar)
    Deux réponses possibles.
    1. Je n'ai pas trouvé d'espace approprié pour la question. Mais s'il existe un meilleur espace pour cette question, je serais reconnaissant à un administrateur de déplacer la question à cet endroit.
    2. Ma question porte sur les fondements des mathématiques, les définitions. 
    En bref, je suis intéressé de lire si ma question n'a pas de sens et pourquoi et si elle en a, alors de savoir si j'ai raison ou tort. Être plus rigoureux en mathématiques, ça ne fait pas de mal. Merci.
  • Modifié (4 Mar)
    Une définition en mathématiques n'est rien d'autre qu'une (déclaration d'une) abréviation.
    Par exemple quand on dit que "(*) par définition, une fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ est continue si pour tout $x\in \R$ et pour tout $\varepsilon \in \R^*_+$, il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $y\in \R$, si $|x-y|\leq \alpha$ alors $|f(x) - f(y)|\leq\varepsilon$", ce qu'on fait en réalité est qu'on annonce que dans la suite du texte, chaque fois que le lecteur lit "$f$ est continue" (s'agissant d'une fonction de $\R$ dans $\R$), il pourra substituer cette expression par le texte qu'il y a à droite de "est continue si" dans mon énoncé entre guillemets commençant par (*).
    Les mathématiques, dans leur pratique,  sont en fait une accumulation géante d'abréviations successives. Il importe de comprendre que tout est syntaxique ici.
  • Merci, je pense que je comprends au moins ce que vous essayez de dire. Toutefois, dans l'exemple de la continuité, nous pouvons changer le "si" en "si, et seulement si". Ma question est la suivante: peut-on toujours faire cela dans les définitions ?
  • Modifié (4 Mar)
    Le si et seulement si est dans ce cas un tic de langage.
    En fait on ne se place pas sur le même niveau de langage lorsqu'on produit une définition ou une affirmation mathématique.
    Une phrase comme $2+2>3$ est une affirmation mathématique (qui énonce une propriété de nombres).
    Une phrase comme "on dit que $k$ est gros lorsque $k>3$" n'est pas une affirmation mathématique. C'est un élément du méta-discours : cette phrase ajoute une rubrique supplémentaire au mode d'emploi de lecture du texte : lorsque le lecteur lit plus loin que "$x$ est gros" il comprend "$x>3$".
  • L'explication de Foys est parfaite.
  • Qu'est-ce qu'un "tic de langage" ? D'autre part, vous indiquez que : "En fait on ne se place pas sur le même niveau de langage lorsqu'on produit une définition ou une affirmation mathématique". Une définition n'est donc pas au même niveau de langage qu'un théorème écrit avec "si, et seulement si" ? Ne pourriez-vous pas éventuellement déclarer un théorème écrit avec "si, et seulement si" comme définition ? J'essaie de revenir à ma question : serait-il mauvais d'écrire des définitions avec "si" et de les changer par des définitions avec "si, et seulement si" ? Je comprends un peu votre explication à la fin du message, mais lorsque nous utilisons un "si" dans la définition, n'est-ce pas le même "si" de la logique habituelle ? Un "si, et seulement si" d'une définition est-il différent d'un "si, et seulement si" d'un théorème ? Mes questions sont juste pour apprendre, s'il vous plaît n'interprétez pas mes questions comme si j'étais une personne carrée.
  • Modifié (4 Mar)
    mais lorsque nous utilisons un "si" dans la définition, n'est-ce pas le même "si" de la logique habituelle ?

    Ce n'est pas le même.

  • OK, donc un "si" dans une définition est en fait plus proche d'un "est" que ce que vous appelez une "abréviation" ?
  • Je préfère utiliser « bidule » signifie « blabla » pour les définitions. 
  • Modifié (4 Mar)
    Je me vois mal écrire "$x$ est plus petit que $y$" signifie "il existe un $z$ tel que la somme de $x$ et de $z$ est égale à $y$" alors que

    $x \le y \Leftrightarrow \exists z (x + z = y)$ est à la fois si simple et si clair et permet d'utiliser $\le$ dans les formules.

    Par contre, utiliser cette formulation pour la définition de la commutativité dans le langage des groupes me va bien.

    Tout cela pour illustrer qu'il y a plusieurs types de définitions, a minima celles qui introduisent un nouvel élément du langage mathématique et celles qui introduisent un nouvel élément du langage du mathématicien.
    504, c'est trop !
  • DomDom
    Modifié (4 Mar)
    Cela me dérange sur le principe d’utiliser un $\iff$ même si c’est très clair.
  • C'est pourtant ce $\Leftrightarrow$ qui autorise syntaxiquement le remplacement de la partie gauche par celle de droite (et réciproquement) dans les formules et démonstrations.

    On peut utiliser $\equiv$ à la place, mais alors il faut le définir ( :)
    504, c'est trop !
  • DomDom
    Modifié (4 Mar)
    C’est l’étape d’après, pour moi. 

    Définition : quel que soit $f$, dire que $f$ est continue signifie $formule(f)$. 

    On en déduit :
    quel que soit $f$, $f$ continue $\iff formule(f)$. 
  • Dom a dit :
    Je préfère utiliser « bidule » signifie « blabla » pour les définitions. 

    Je cautionne. L'utilisation du verbe être en mathématique prête à confusion. Par exemple dans "Un losange est un parallélogramme" et dans "Un rectangle est un quadrilatère ayant 4 angles droits"  le verbe être n'a pas le même sens.

    Pour une définition j'aime bien la formulation: "Un quadrilatère ayant 4 angles droits" sera appelé "rectangle". La notion de définition apparaît plus clairement et le mot raccourci apparaît après ce qu'il remplace, ce qui aide à comprendre la chronologie.
  • Modifié (4 Mar)
    Je suis assez d'accord avec Foys. C'est une manie (que je partage allègrement avec les autres) de coller des "ssi" à tous les coins de rue dans les définitions. Le "si" suffit amplement. Prenons l'exemple d'un cours totalement élémentaire.
    Définition. On dira que deux ensemble $A$ et $B$ sont disjoints si $A \cap B=\emptyset$.
    Et rien n'interdit au prof, disons trois cours plus tard, de dire : "on rappelle que $A$ et $B$ sont disjoints ssi $A \cap B=\emptyset$".
  • Modifié (4 Mar)
    Je retiens une leçon dans tout ça : lorsque Foys parle, on apprend même si on pensait connaître déjà.

    [Je pense cependant que cette question appartient à "enseignement et pédagogie", d'ailleurs beaucoup de questions posées en "logique et fondements" devraient figurer dans "enseignement et pédagogie".]

    Pour aller dans la continuité de ce que dit Foys.
    En effet, une définition n'est pas une formule mathématique, généralement il s'agit de nommer une relation en exhibant une formule mathématique qui définit cette relation. Par convention on codifie cela en séparant le symbole de relation et la formule par un "si" mais on aurait pu choisir une autre codification.
    Le "si"  de la définition n'a rien à voir avec le connecteur logique de l'implication. Ici, le "si" n'est pas un connecteur, c'est juste une ponctuation comme on en voit souvent dans les codes informatique.
  • Une définition peut (comme déjà dit, il y a plusieurs types de définitions) parfaitement être une formule, j'ai donné un exemple plus haut ; formule qui peut d'ailleurs changer les propriétés syntaxiques d'une théorie, et donc de démontrer des propriétés de cette théorie.

    PS : désolé de n'avoir pas répondu à votre question sur les théories, mais quand j'ai vu la question, Martial avait répondu avec plus d'exemples que j'en avais en tête.
    504, c'est trop !
  • Modifié (4 Mar)
    En fait dans les définitions, on peut remplacer le "si" par "dorénavant quand".
  • Deux ensembles A et B d'intersection vide seront appelés /pourront être appelés "disjoints".
    Deux ensembles A et B vérifiant A inter B vide seront appelés /pourront être appelés "disjoints".
    Dorénavant quand deux ensembles seront d'intersection vide on les appellera "disjoints".
  • « revient à dire » est utilisé parfois mais je reste sur mon « signifie que ». 

    Christophe, que je ne vois plus (?), proposait « abrège ».

    Remarque : le « revient à dire » est commode pour le secondaire, surtout collège, quand l’inspecteur interdit « si et seulement si ». Ils ne sont pas tous comme ça…
  • Modifié (4 Mar)
    Après, il est vrai qu'on peut distinguer différents types de définition. Pour illustrer ça, remarquez la différence entre la définition de la classe des espaces topologique et la définition de la notion de catégorie.

    La classe des espaces topologique est définissable par une formule du premier ordre tandis que la notion de catégorie nécessite une formule du second ordre pour être définie (dans ZF et non en théorie des classes).
  • Modifié (4 Mar)
    Supposons qu'on a une formule $F(x,y,z)$, un exemple de formulation différente des définitions serait : soit $G$ la relation définie par $F(x,y,z)$, ou notons $G$ la relation définie par $F(x,y,z)$. 

    $G$ pourrait très bien être $[est-continue]$

    On peut aussi comprendre "définition" dans le sense "interprétation de symbole".
  • Il y a quand même une énorme différence entre la définition de "A est disjoint de B" (qui n'est pas une abréviation (stricto sensu) de $A \cap B = \emptyset$, et que je n'ai jamais vu utilisé sous la forme $Disjoint(X, Y) $ ) et la définition de $\le$ qui est utilisé dans les formules. La première n'a que l'intérêt de rendre plus clair le discours du mathématicien, (non dans sa pratique, mais dans sa communication) la deuxième a, entre autres, l'intérêt de supprimer un quantificateur, dans Presburger on peut même faire mieux.
    504, c'est trop !
  • Modifié (4 Mar)
    Intéressant, le sujet abordé est tout à fait intéressant. J'ai donc réussi à capter ses [ces ?] commentaires, merci.
    1.  Une définition en mathématiques est une façon d'abréger les choses.
    2.  Écrire "si" dans les définitions est un tic de la langue dans le sens où vous pouvez remplacer un "si" dans une définition par un "ssi" sans aucun problème.
    3. La substitution ci-dessus peut être effectuée car un "si" ou un "ssi" dans une définition n'est pas au même niveau de langage qu'un théorème mathématique.
    Est-ce correct ? Que se passe-t-il lorsque, à l'aide d'une définition, nous disons "A est B si ababla", que se passe-t-il dans les définitions lorsqu'une partie de celles-ci dans "si" n'est pas définie ? Par exemple, dans une définition "f est continue si B", comme nous ne parlons pas d'un "si" d'un théorème mathématique, je peux utiliser une négation logique pour trouver quand la définition n'est pas satisfaite ? Si ce "si" ne provient pas des implications logiques ou si le "ssi" n'est pas celui fourni par le biconditionnel logique $\iff$, alors comment est-il possible de donner une négation ? Le "ssi" d'une définition n'est-il pas plus similaire à celui d'une équivalence logique $\equiv$ ? uhm...Quelle est la différence : $\equiv$ et $\iff$ et $\leftrightarrow$ ?
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