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Nature d’une série (oral de l’X 2021)

Modifié (March 2022) dans Analyse
Bonjour 
$(u_n)$ une suite strictement croissante d’entiers naturels non nuls. 
Nature de la série $\quad \displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{\mathrm{ppcm}(u_1,u_2,\ldots,u_n)}$
Merci.

Give Peace a Chance John Lennon
Mots clés:

Réponses

  • Étudiez le cas où la suite $(u_n)$ d’entiers naturels non nuls n’est plus strictement croissante ? 
  • Quand la suite c'est les entiers naturels montrer que la série converge vers un nombre irrationnel.
  • Modifié (March 2022)
    J'ai été fort étonné de voir cet énoncé désigné comme provenant de l'oral de l'X 2021. J'ai vérifié dans la RMS 132-2, février 2022, il y est bien, c'est  le n° 283 (algèbre, MP).
    Cet énoncé n'est pas vraiment un perdreau de l’année, c'est le problème B5 du concours Putnam de 1964 (presque soixante ans !). Voir la référence, renvoyant à une solution en deux lignes : https://prase.cz/kalva/putnam/putn64.html
    Il y a une autre solution, tout aussi élémentaire,  dans le livre : Gleason, Greewood, Kelly, The William Lowell Putnamm Competition, Problems and solutions : 1938-1964, The MAA, 1980.
    Je l'avais posé à mes élèves de Maths-Sup en 1991, avec $1/PPCM(1,2,...,n)$.
    Je ne sais ce qu'en pensent les collègues professeurs de Maths-Sup et Spé présents sur ce forum, mais il me semble que ce n'est pas la peine que les élèves ingurgitent pendant deux ans de puissants théorèmes d'algèbre et d'analyse pour se voir poser un énoncé hyper-réchauffé, qui se résout par une simple astuce si l'on y pense et ne se résout pas si l'on n'y pense pas. M'est avis que les examinateurs de l'X devraient faire preuve d'un peu plus d’originalité pour mériter leurs émoluments.
  • Modifié (March 2022)
    Merci Chaurien pour le lien. Résolu par Lajos Posa à 12 ans !
    Pour aller un peu plus loin et mériter des émoluments, les profs de l'X pourraient enrichir le problème d'une question de théorie analytique des nombres :)
    Soit $X(n)$ le ppcm de $1,2,3,\ldots,n$, le TNP est-il suffisant pour montrer que la limite suivante existe ?
    $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\log\left(X(k)\right)}{k^{2}}-\log n.$$
  • Dans le cas général, et en se plaçant volontairement au-dessus du niveau demandé, il existe des minorations explicites du ppcm en question.  Par exemple, il y a ce résultat que j'avais déjà mis ici sans doute l'an dernier : si $u_0,r \geqslant 1$ sont entiers premiers entre eux, alors pour tout entier $n \geqslant r(r+1)$, on a
    $$\textrm{ppcm} \left(u_0, u_0+r,u_0+2r,\dotsc,u_0 + nr \right) \geqslant u_0 r^{r+1} (r+1)^n.$$
    Pour comprendre un peu l'histoire derrière tout ça, on peut regarder le cas de $d_n := \textrm{ppcm}(1,\dotsc,n)$ et suivre l'idée de Mohan Nair lorsqu'il a cherché une autre méthode, plus simple que les méthodes habituelles, pour obtenir une minoration de $\pi(n)$ : 

    (i) Tout d'abord, on a classiquement
    $$\sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{(-1)^k}{n+k+1} = \frac{1}{(n+1) {2n+1 \choose n+1}} = \frac{1}{(2n+1){2n \choose n}}$$
    d'où l'on déduit que $(2n+1) {2n \choose n}$ divise $d_{2n+1}$.

    (ii) On connaît la minoration ${2n \choose n} \geqslant \frac{4^n}{2 \sqrt n}$.

    Ces deux points combinés montrent que $d_{n+1} \geqslant n^{1/2} 2^{2n}$, et donc aussi $d_{2n+2} \geqslant d_{2n+1} \geqslant n^{1/2} 2^{2n}$. Finalement, on obtient que, si $n \geqslant 16$, alors $d_n \geqslant 2^n$. Un calculateur montre que cette inégalité est également vraie pour $n \in \{7,\dotsc,15\}$.
  • Chaurien a dit :

    Je ne sais ce qu'en pensent les collègues professeurs de Maths-Sup et Spé présents sur ce forum, mais il me semble que ce n'est pas la peine que les élèves ingurgitent pendant deux ans de puissants théorèmes d'algèbre et d'analyse pour se voir poser un énoncé hyper-réchauffé, qui se résout par une simple astuce si l'on y pense et ne se résout pas si l'on n'y pense pas. M'est avis que les examinateurs de l'X devraient faire preuve d'un peu plus d’originalité pour mériter leurs émoluments.
    Peut-être était-ce un énoncé posé dans les 5 dernières minutes.
    En tout cas, merci pour les références.

  • fbifbi
    Modifié (March 2022)
    Bonsoir,
    pour une autre référence en français, voir chez Cassini "exercices de mathématiques oraux X-ENS analyse tome 1" (3e édition corrigée) l'exercice 3.23 page 167.
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