Convergence forte dans l'espace de Hardy

Niser

Bonjour,
Soit $(u^\epsilon )$ une suite de l'espace de Hardy $$
H^2(\mathbb T):=\{f\in \mathrm{Hol}(\mathbb D)\,; \|f\|_{H^2}^2=\sup_{0\leq r<1}\int_0^{2\pi} \lvert f(re^{ix})\rvert^2\, \frac{dx}{2\pi}<\infty\}\,, \quad \mathbb D :=\{z\in \C\, ;\,\lvert z\rvert \leq1\}\,, \ \mathbb T:=\R/(2\pi \Z ),
$$ telle que $u^\epsilon \rightharpoonup u $ dans $H^2(\mathbb T)$ avec $\|u\|_{L^2(\mathbb T)}\leq C\,.$ Supposons de plus que $u^{\epsilon}(z)\to u(z)$ pour tout $\vert z\rvert<1$. 
Je veux montrer que $\|u^\epsilon\|_{H^2(\mathbb T)}\to \|u\|_{H^2(\mathbb T)}$. Pouvez-vous me dire si ce qui suit est correct ?

Comme $u$ est dans l'espace de Hardy, alors on peut prolonger $u^{\epsilon}(z)\to u(z)$ pour tout $\vert z\rvert<1\,$, à tout $\vert z\rvert\leq 1$.
Notons que le cercle $\mathbb T$ est un compact dans $\mathbb D$, alors la convergence de  $u^{\epsilon}(z)\to u(z)\,$, $\vert z\rvert\leq 1\,$, est en fait une convergence uniforme pour $\{ \lvert z\rvert =1\}$. Donc,  $$
\|u^\epsilon\|_{L^2}^2=\int_{\mathcal C(0,1)}\lvert u^\epsilon(z)\rvert^2\,\frac{dz}{2i\pi z}\longrightarrow \int_{\mathcal C(0,1)}\lvert u(z)\rvert^2\,\frac{dz}{2i\pi z} =\|u\|_{L^2}^2\,.
$$ Merci d'avance !