Topologie faible

paco

Bonjour à tous,
Soit $S=\{e_m+m e_n\mid m<n\}\subset \ell^2$,  $e_m$ c'est $1$ à la position $m$.
Je cherche à montrer que $0$ appartient à la fermeture de $S$ avec la topologie faible.

J'ai démarré avec un raisonnement par l'absurde, qui me conduit à ça : pour tout $m<n$,  $|<f,e_m+m e_n >|\geq \epsilon$ pour certaines $f$ linéaires continues sur $\ell^2$ et $\epsilon> 0$. Mais je suis bloqué à ce niveau.
Bonne soirée à tous.

Barjovrille

Bonjour, le n de ton énoncé est fixé ?

paco

Non le n n'est pas fixé

raoul.S

Tu dois montrer que $0$ est dans l'adhérence de $S$. Il suffit donc de prendre une base de voisinages de $0$ pour la topologie faible (voir ICI pour un rappel) et montrer que chaque voisinage de cette base intersecte $S$, ce qui n'est pas très difficile à voir (utiliser le fait que pour chaque $x\in\ell^2$, $\langle x, e_n\rangle$ tend vers $0$).

Barjovrille

raoul.S a dit :

 (utiliser le fait que pour chaque $x\in\ell^2$, $\langle x, e_n\rangle$ tend vers $0$).

Pour faire le lien avec base de voisinage et l'indication de raoul  que je cite utilise le théorème de représentation de Riesz.

paco

Merci @Raoul, pourriez-vous me donner une indication de plus.
Bonne soirée.

raoul.S

En te basant sur la base de voisinages mentionnée ICI tu peux procéder graduellement comme ça : 
 
Soit $\phi$ un élément du dual de $\ell^2$, comme dit ci-dessus par Barjovrille, il existe $x_{\phi}\in \ell^2$ tel que pour tout $x\in \ell^2$, $\phi(x)=\langle x_{\phi}, x\rangle$.

1) En utilisant la remarque ci-dessus, commence par montrer que pour tout $\varepsilon>0$, il existe deux entiers $m,n$ avec $m<n$ tels que $|\phi(e_m+me_n)|<\varepsilon$.
2) Montre que pour toute formes linéaires continues $\phi_1,...,\phi_r$ et tout $\varepsilon>0$ il existe deux entiers $m,n$ avec $m<n$ tels que $|\phi_k(e_m+me_n)|<\varepsilon$ pour tout $k=1..r$.

Le point 2 signifie que $S$ intersecte tout voisinage faible de $0$ et donc que $0$ est bien dans l'adhérence de $S$.

paco

Merci beaucoup @raoul.S
Bonne journée