Archimède : le livre des lemmes [collège/lycée]

Paco_del_Rey

Archimède a écrit (ou pas) le livre des lemmes.
Il en existe une traduction en français en édition trilingue.
Persuadé de leur intérêt pour le collégien le lycéen (voire le candidat au CAPES), je me propose de donner successivement pour chacune des quinze propositions, un énoncé, un énoncé sous forme d'exercice, une solution en espérant des commentaires ou des solutions modernes au niveau lycée ou pas.

Lemme 1 :  Deux cercles sont tangents en \( A \) et si \( [CD] \) et \( [EF] \) en sont deux diamètres parallèles.

Dans ces conditions, les points \( A \), \( C \) et \( E \) sont alignés.
Paco.

Dom

Bonsoir, 

Il y a un problème d'ordre des points. Par exemple, si l'on échange les rôles de $E$ et $F$, alors l'alignement n'a pas lieu (mais un autre le remplace).

Cordialement

Dom

Paco_del_Rey

Merci Dom.
Je propose donc la formulation suivante : 
Lemme 1 :  Deux cercles sont tangents en \( A \) et si \( [CD] \) et \( [EF] \) en sont deux diamètres parallèles.

Dans ces conditions, quitte à échanger \( E \) et \( F \), les points \( A \), \( C \) et \( E \) sont alignés.

Paco_del_Rey

Sous forme d'exercice.

 

Paco_del_Rey

a) Démontrer que les points \( A \), \( B \) et \( O \) sont alignés.

On trace la parallèle à \( (OB) \) passant par \( C \). Elle coupe la droite \( (EF) \) en \( G \).
 b) Démontrer que \( \widehat{GEC} = \widehat{ECG} \).
 c) Démontrer que \( \widehat{BAC} = \widehat{BCA} = \widehat{GEC} \).

 La droite \( (AC) \) coupe la droite \( (OE) \) en \( E' \).
 d) Démontrer que \( E = E' \) et conclure.

Paco_del_Rey

Démonstration du lemme 1.
a)  En effet les points \( B \) et \( O \) appartiennent à la perpendiculaire à la tangente commune aux deux cercles en \( A \).
b) On a \( AB = BC \), donc le triangle \( ABC \) est isocèle en \( B \) et \( \widehat{BAC} = \widehat{BCA} \). De même, on a \( OG = BC = AB \). Donc, puisque \( OE = OA \), on a \[ EG = OE - OG = OA - OB = OB = GC. \] Donc le triangle \( EGC \) est isocèle en \( G \) et \( \widehat{GEC} = \widehat{ECG} \).
c) La droite \( AO \) coupe les deux droites parallèles \( (OE) \) et \( (BC) \) suivant des angles correspondants égaux. Puisque la somme des angles d'un triangle égale deux angles droits, on a \[ \widehat{BAC} = \widehat{BCA} = \widehat{GEC} = \widehat{ECG}. \]
d) La droite \( (AC) \) coupe les deux droites parallèles \( (OE) \) et \( (BC) \) suivant des angles correspondants égaux. Donc \( \widehat{GEC} = \widehat{GE'C} \). Donc la droite \( (OA) \) coupe les droites \( (AE) \) et \( (AE') \) suivant des angles correspondants égaux. Donc les droites \( (AE) \) et \( (AE') \) sont parallèles donc confondues. Donc \( E = E' \) et les points \( A \), \( C \) et \( E \) sont alignés. 

Paco_del_Rey

Le lemme 1 servira dans un lemme ultérieur.

Lemme 2 : Soit \( [AB] \) le diamètre d'un demi-cercle. On construit les tangentes en \( B \) et en un autre point \( D \). Elles se coupent en un point \( T \). Soit \( E \) le projeté orthogonal de \( D \) sur \( [AB] \).

 La droite \( (AT) \) coupe \( (DE) \) en \( F \).

Paco_del_Rey

Sous forme d'exercice.

Soit \( H \) le point d'intersection de \( (BT) \) et \( (AD) \).
1. Démontrer que \(\ BT = DT \).
2. Démontrer que \(\ BT = TH \).
3. Démontrer que \( \dfrac{DF}{HT} = \dfrac{AF}{AT}. \)
4. Démontrer que \( \dfrac{EF}{BT} = \dfrac{AF}{AT} \) et conclure.