Calcul des variations

Calli

Bonjour,
Soient $U,A>0$. J'aimerais montrer que la fonctionnelle $$J(a) = \int_0^U |a'(u)|^3 e^{-a(u)^2} \,\mathrm{d}u$$ définie sur $W=\{a\in W^{1,3}(]0,U[) \mid a(0)=0 \text{ et } a(U)=A\}$, possède un minimiseur. Pour cela, je prends une suite minimisante $(a_n)$ (i.e. $J(a_n) \to \inf_W J$) et la première étape est de montrer que $\|a_n\|_{W^{1,3}}$ est borné (pour extraire une sous-suite convergeante, etc.), mais je n'y arrive pas. Une alternative, serait de remplacer $J$ par $J_\varepsilon (a) =  \int_0^U |a'(u)|^3 (e^{-a(u)^2} +\varepsilon)\,\mathrm{d}u$ avec $\varepsilon>0$, de trouver un minimiseur de $J_\varepsilon$ (ça je sais faire) puis de montrer que quand $\varepsilon\to0$ il tend vers un minimiseur de $J$, mais la dernière partie risque d'être laborieuse.
Avez-vous des idées pour attaquer ce problème de manière pas trop compliquée ?
Merci d'avance

Renart

J'ai l'impression que ce que tu cherches à démontrer est faux ?

Je ne suis pas très bien réveillé donc des erreurs bêtes sont tout à fait possibles. Mon idée est de construire une suite $(a_n)_n$ avec $J(a_n) \to 0$ (qui sera donc minimisante), pour cela on prend des fonctions affines par morceaux avec $a_n \gg 1$ dès qu'on s'éloigne du bord de $[0,U]$.

Prenons $a_\lambda (t) = \lambda t$ sur $[0,m]$ avec $\lambda \geq 0$, on a $a_\lambda'(u)^3e^{-a_\lambda(u)^2}= \lambda^3 e^{-\lambda^2 u^2} \geq 0$, sa dérivée par rapport à $\lambda$ est $(3\lambda^2-2\lambda^4)e^{-\lambda^2 u^2}$ qui est négative pour $\lambda \geq 2$ par exemple. On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée : la limite de $\int_0^m a_\lambda'(u)^3e^{-a_\lambda(u)^2} \mathrm d u$  est $0$ quand $\lambda$ tend vers $+\infty$. On recommence la même chose sur l'intervalle $[m,U]$ de sorte à ce que $a_\lambda$ soit affine par morceaux et dans $W$. On obtient ainsi une suite $(a_n)_n$ telle que $\lim J(a_n)  = 0$ qui est donc l'inf de $J$ et $\|a_n\|_{W^{1,3}} $ tend vers $+\infty$. Vu la tête de $J$ toute autre suite minimisante devrait aussi être non bornée.

Calli

Merci Renart pour ta réponse. Il y a un soucis dans ce que tu dis au niveau de la convergence dominée. On a $\sup_{\lambda>0} \lambda^3 e^{-\lambda^2u^2}$ $= \frac1{u^3} \sup_{\mu>0} \mu^3 e^{-\mu^2}$ donc $a_\lambda '^3e^{-a_\lambda^2}$ n'est pas uniformément dominée. L'erreur vient de l'oubli d'un facteur $u^2$ dans $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}(\lambda^3 e^{-\lambda^2u^2}) = (3\lambda^2-2\lambda^4u^2) e^{-\lambda^2u^2}$. Ça peut arriver quand on est pas bien réveillé comme tu dis. 

Finalement, je crois que je m'en suis sorti (désolé du dérangement du coup). J'ai remarqué que pour tout $a\in W$, il existe $b\in W$ croissante telle que $J(b)\leqslant J(a)$. En effet, posons $u_{0} = \max  a^{-1} (\{0\})$ et $b:u = \mathbf{1}_{u>u_{0}} \inf _{[u,U]} a$ (fonction nulle avant $u_{0}$ puis enveloppe croissante inférieure de $a$). Elle est continue et $b' = a' \mathbf{1}_{b=a\wedge u>u_{0} }$ (à démontrer proprement, mais je pense que c'est vrai) donc $b\in W^{1,3}$. Et $b(0)=0$ et $b(U)=A$ donc $b\in W$. Enfin, $J(b)\leqslant J(a)$ (même intégrale sur un domaine plus petit).

Comme ça, on peut supposer que la suite minimisante $(a_{n} )$ est faite de fonctions croissantes. Ainsi, $\forall n, a_{n} \leqslant A$, donc $\|a_{n} '\|_{L^{3}} ^{3} e^{-A^2} \leqslant  J(a_{n} )$. Et $\|a_{n} \|_{W^{1,3}} \lesssim  \|a_{n} '\|_{L^{3}} +1$ par inégalité de Poincaré, donc $(a_{n} )$ est bornée dans $W^{1,3}$. D'où, quitte à extraire, $a_{n} \overset{W^{1,3} }{\rightharpoonup} a \in W$, $a_{n} \overset{L^{3} }{\longrightarrow} a$ et $a_{n} \overset{\text{p.s.}}{\longrightarrow} a$ car $W$ est fermé dans $W^{1,3}$. Alors $a$ est aussi croissante, donc $e^{-a^2}$ et les $e^{-a_{n}^2}$ sont décroissantes. D'où, par le théorème de Dini, $\|e^{-a_{n}^2}-e^{-a^2}\|_{L^{\infty }} \rightarrow 0$, car ces fonctions sont continues. Donc $$\begin{eqnarray*} J(a) &\leqslant & \liminf  \int _{0} ^{U} |a_{n} '|^{3} e^{-a^2}\,\mathrm{d}u \\ &\leqslant & \liminf  \left( J(a_{n} )+ \int _{0} ^{U} |a_{n} '|^{3} |e^{-a_{n}^2}-e^{-a^2}|\,\mathrm{d}u \right)\\ &\leqslant & \inf\limits _{W} J + \limsup  \|a_{n} '\|_{L^{3}} ^{3} \|e^{-a_{n}^2}-e^{-a^2}\|_{L^\infty } \\ &=& \inf\limits _{W} J \end{eqnarray*} $$ où la première ligne vient d'une propriété de la convergence faible appliqué à $b\mapsto  \left(\int _{0} ^{U} |b'|^{3} e^{-a^2}\,\mathrm{d}u\right)^{1/3}$, norme équivalente à $\|.\|_{L^{3}}$.

Renart

Effectivement, j'aurais mieux fait de continuer ma sieste 😌

Pour ta fonction $b$ j'ai l'impression qu'on peut aussi prendre la primitive s'annulant en $0$ de $(a')^+ \mathbf 1_{[0;m]}$,  où $m$ est choisi tel que $\int_0^m (a')^+ \mathrm d \lambda = A$. Ainsi définie on obtient facilement $b \in W$, $b' \geq 0$ donc $b$ croissante, $b \geq a$ et $|b'|\leq |a'|$ d'où $J(b)\leq J(a)$.  

En espérant être mieux réveillé cette fois-ci !

Calli

Oui, bonne idée. C'est plus simple que ce que j'ai fait. $b\geqslant a$ n'est vrai que sur $[0,m]$ mais ça marche quand même. Merci.