Racine carrée d'une matrice

OShine

Bonjour
Question $1$.
$A$ et $B$ sont semblables dans $M_n(\C)$ donc il existe $P \in GL_n(\C)$ tel que $A=P B P^{-1}$.
Il suffit de considérer l'application $f : R(A) \longrightarrow R(B) \\ M \mapsto P M P^{-1}$
Elle est bien définie car si $M \in R(A)$ alors $(PMP^{-1})^2=PM^2P^{-1}=PAP^{-1} = B$
L'injectivité est évidente.
Pour la surjectivité, un antécédent de $Y \in R(B)$ est $P^{-1} YP$
Question $2$.
Je ne vois pas. J'ai écrit les définitions : 
$cl(A)= \{ B \in M_n(\C) \ | \ \exists P \in GL_n(\C) \ B=P A P^{-1} \}$ et $R(\alpha I_n)= \{ M \in M_n(\C) \ | \ M^2 = \alpha I_n \}$
Je ne vois pas le lien entre les classes d'équivalence et $R(\alpha I_n)$.

gai requin

1) mal rédigé. C'est quoi $P$ ?
2) Mot-clé : action de groupe

OShine

J'ai rajouté l'information : $A$ et $B$ sont semblables donc il existe $P$ une matrice de passage telle que $A=P B P^{-1}$.

Je ne connais pas les actions de groupe, on ne peut pas faire sans en utilisant simplement les définitions d'une classe d'équivalence ? 

gai requin

Mauvais choix pour $P$.

llorteLEG

Va voir la correction de Phil Caldero ou alors si elle n'est pas compréhensible fais lui faire d'autres vidéos

OShine

Je ne comprends rien à sa correction, c'est du chinois. Elle me servira à rien, il va trop vite et n'explique rien.

Pourquoi mauvais choix ? C'est la définition de deux matrices semblables.

Dom

Laissons notre cher P. tranquille 😏 même s’il n’est pas encore de passage 🤣

gai requin

Bon ben c'est raté pour la 1) et tu ne sais pas faire la 2).
Tu peux quand même essayer la 3)

bisam

@Oshine : Tu t'es mélangé les pinceaux entre $A=PBP^{-1}$ à la première ligne et $B=PAP^{-1}$ à la ligne suivante... et c'est ce qui t'a valu les remarques sarcastiques de @gai requin .

Pour la question 2, es-tu capable de donner quelques matrices qui sont dans $R(\alpha I_n)$ ? C'est la moindre des choses.

Si tu peux en donner plusieurs, sont-elles semblables ?

Sinon... tu peux les ranger dans des classes de similitude différentes...

gai requin

Bizarre ce que tu racontes bisam.
Le vrai problème, c'est qu'il existe des sous-ensembles de $\mathcal{M}_n(\C)$ qui ne sont pas réunion de classes de similitude.
Il s'agit donc ici d'expliquer pourquoi c'est néanmoins le cas pour $R(\alpha I_n)$...

bisam

Bien évidemment... mais je voulais le faire commencer par le début.

Il est vrai que résoudre l'équation matricielle $X^2=\alpha I_n$ n'est pas très difficile, mais il faut comprendre également ce qui est attendu dans la réponse et c'est ce qui fait le plus souvent défaut chez @Oshine : comprendre ce qui est demandé.

gai requin

C'est un peu plus dur quand $\alpha=0$

OShine

@Bisam oui c'est vrai que je n'ai pas trop compris la question. 
Si $\alpha=0$ alors $R( \alpha I_n)= \{0 \}$
Si $\alpha \ne 0$ alors $\alpha$ possède deux racines carrées opposées distinctes notons les $\delta$ et $-\delta$.
On a alors $M=diag( \delta, \cdots, \delta)$ et $diag( -\delta, \cdots, -\delta)$ qui sont des éléments de $R(\alpha I_n)$.
Mais je ne vois pas le lien avec la réunion des classes de similitude.

llorteLEG

Y a que ça comme racine si alpha =/= 0 ?

gai requin

OS, tu as posté combien d'exos sur les matrices nilpotentes ???

OShine

Il me semble que les racines de l'équation $X^2= \alpha I_n$ sont toutes les matrices de la forme  :  $diag( \pm \delta, \cdots, \pm \delta)$ il y a donc $2^n$ solutions.

nicolas.patrois

Si $\alpha=0$, c’est faux. Relis la réponse de gai requin.

gai requin

N'importe quoi pour le cas $\alpha\neq 0$ !

Kolakoski

@OShine $\left(\begin{array}{cc} 0&1\\0&0\end{array}\right)$ est une racine de $\left(\begin{array}{cc} 0&0\\0&0\end{array}\right)$, non ?

OShine

Kolakoski oui bien vu.
Si $\alpha=0$, on veut résoudre $X^2=0$
Donc $X$ est une matrice nilpotente d'ordre $2$. Les solutions sont les matrices nilpotentes d'ordre $2$.

Dom

Sûr ? 

« Quel que soit $X$, si $X^2=0$, alors $X$ est nilpotente d’ordre $2$ » ?

nicolas.patrois

Et la matrice nulle.

lourrran

En dimension 3, on a des points de repères visuels.
Si $A^2 = I_3$, $A$ peut être par exemple la matrice d'une rotation d'angle $\pi$ autour d'un axe quelconque. Ou bien la matrice d'une symétrie par rapport à un plan quelconque. J'en oublie peut-être, mais je ne pense pas.
Et pour $A^2 = \alpha I_3$, on voit qu'il suffit de combiner ces fonctions avec une homothétie de facteur $\sqrt{\alpha}$
En dimension 2 : même réponse.
En dimension $n$ quelconque, on généralise cette réponse ?

gai requin

lourran, on demande le nombre de classes de similitudes.
1) Si $\alpha\neq 0$, toute racine carrée est semblable à une matrice diagonale (pourquoi ?)...
2) Si $\alpha=0$, il faut s'appuyer sur la forme de Jordan rappelée dans l'énoncé...

lourrran

J'essaie juste de rappeler à OShine que visualiser de quoi on parle, savoir de quoi on parle, ça peut aider. Et donc, introduire les mots 'rotation' ou 'symétrie' ça me paraissait utile.  C'est un peu ce que disait Bisam : Oshine fait un exercice, mais il ne sait pas de quoi parle cet exercice, comme d'habitude.
Avec mes souvenirs très très lointains de mes cours de maths, c'est à peu près tout ce que je pouvais apporter sur cet exercice.

Dom

On a un théorème d’ailleurs, quelque part ?
« Il existe exactement $n$ racines de $A^n$ » en rangeant dans $n$ tiroirs (classes) ces matrices ?
disons quand le corps est $\mathbb C$.

OShine

Lourrran je pense qu'il faut utiliser des résultats sur la diagonalisation. 
Gai Requin je suis à la question $2$, on ne demande pas de dénombrer le nombre de classes de similitudes.
Mais tes indications m'ont permis d'avancer.
Soit $M \in R(\alpha I_n)$
Si $\alpha \ne 0$ alors en notant $\delta$ une racine carrée de $\alpha$, le polynôme $P(X)=(X-\delta)(X+\delta)$ scindé à racines simples annule $M$. Donc $M$ est diagonalisable, il existe $P \in GL_n(\C)$ et $D$ diagonale tel que $M=P D P^{-1}$. 
Si $\alpha=0$, soit $M=0$ sinon d'après la réduction de Jordan, comme $M$ est nilpotente $M$ est semblable à une matrice diagonale par blocs, donc $M$ est diagonalisable et  il existe $P \in GL_n(\C)$ et $D$ diagonale tel que $M=P D P^{-1}$. 
J'ai du mal à voir le lien direct avec les classes d'équivalence (ou de similitude) maintenant, j'ai toujours du mal à manipuler les classes d'équivalence.

Kolakoski

Pour la question 2, vous pourriez essayer de montrer, avec votre notation $\text{cl}(M)$ pour la classe de similitude de $M$, que 
$$R(\alpha I_n)=\!\!\!\!\!\!\bigcup_{M\in R(\alpha I_n)}\!\!\!\!\!\!\text{cl}(M)$$

OShine

Merci Kolakovski !
Soit $M \in R(\alpha I_n)$. D'après ce qui précède, il existe $(P,D) \in GL_n(\C) \times D_n(\C)$ tel que $M=P D P^{-1}$ donc $M \in \displaystyle\bigcup_{M \in R(\alpha I_n)} cl(M)$.
Réciproquement, si $A \in \displaystyle\bigcup_{M \in R(\alpha I_n)} cl(M)$ alors $\exists M \in R(\alpha I_n)$ tel que $A \in cl(M)$. Il existe $P \in GL_n(\C)$ tel que $A=PMP^{-1}$ et $M^2= \alpha I_n$/
Donc $A^2= P M^2 P^{-1} = P ( \alpha I_n) P^{-1} = \alpha I_n$ donc $A \in R( \alpha I_n)$ d'où $\displaystyle\bigcup_{M \in R(\alpha I_n)} cl(M) \subset R( \alpha I_n)$.
Par double inclusion, on a $\boxed{R( \alpha I_n) = \displaystyle\bigcup_{M \in R(\alpha I_n)} cl(M) }$.
Phil Caldéro répond en 1 ligne il n'exhibe même pas d'union je n'appelle pas ça une démonstration ou un corrigé. Je n'aimerais pas être un de ses élèves à la préparation à l'agreg. 

lourrran

Les classes d'équivalence, c'est la 'fin' d'un calcul. Il faut se poser les questions intermédiaires, et il faut deviner quelles questions intermédiaires sont utiles.

Par exemple, si on prend les matrices M1 et M2 :
M1 et M2 sont des matrices diagonales,
M1 a des 1 sur toute la diagonale, sauf -1 en 1ère ligne, 1ère colonne.
M2 a des 1 sur toute la diagonale, sauf -1 en 2ème ligne, 2ème colonne.
Est-ce que les matrices M1 et M2 sont semblables ? Si oui, tu as déjà une petite idée de la classe d'équivalence qui les contient.
M12 : matrice diagonale, avec des 1 sur toute la diagonale, sauf pour les 2 premiers éléments, où on a -1.
Est-ce que M12 est semblable à M1 ou à M2 ? 

gai requin

OS, on t'a déjà montré une matrice non diagonalisable dans $R(0)$ donc ta "preuve" est fautive dès la première ligne !

gai requin

En une ligne (à la Caldero ?) : 
$\mathrm{GL}_n(\C)$ agit par conjugaison sur $R(\alpha I_n)$ qui est donc réunion (disjointe) de classes de similitudes.

OShine

Je ne comprends pas l'erreur dans mon raisonnement.
Non il ne parle pas d'action de groupe Caldéro il fait un calcul sans expliquer pourquoi.

@lourrran la réponse est non. 

gai requin

Est-ce que $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ de carré nul est diagonalisable ?

OShine

Non car elle est nilpotente. 
Mon raisonnement est faux si $\alpha=0$. 
Si $M \in R(0)$ alors $M$ est semblable à une matrice de Jordan, donc on peut écrire $M=P diag( J_{n1}, \cdots, J_{nr}) P^{-1}$ et ça suffit. 

gai requin

Et même que les $n_i$ sont $\leq 2$.

lourrran

La réponse à quelle question est non ? Et je m'en moque de savoir si la réponse est oui ou non. L'intérêt de la question, c'est de te tendre une perche, un indice, pour l'exercice.
Si tu ne rebondis pas sur l'exercice, ça ne sert à rien.

OShine

Pourquoi les $n_i$ sont inférieur à $2$ ? Je ne connais pas la théorie de Jordan.
Question $3$ :  je ne suis pas sûr du tout pour la dernière ligne.
On a $\{ I_n \}$ qui est une classe de similitude de $R(I_n)$.
Pour la question $3$, si $M^2=I_n$ alors $P(X)=(X-1)(X+1)$ est annulateur de $M$, il est scindé à racines simples donc $M$ est diagonalisable.
On a aussi $sp(M) \subset \{-1,1 \}$
Donc il y a $card \{-1,1 \}^n = 2^n$ classes de similitudes pour $R(I_n)$.  (Pas sûr de moi ici).

gai requin

C'est faux.
Par exemple, si $n=2$, $\mathrm{Diag}(1,-1)$ et $\mathrm{Diag}(-1,1)$ sont semblables.

OShine

Ah d'accord donc elles appartiennent à la même classe d'équivalence.

J'ai toujours du mal avec ces classes d'équivalence.

Kolakoski

Pour l'égalité que je proposais, une inclusion est claire (si $M\in R(\alpha I_n)$, alors elle appartient à $\text{cl}(M)$ qui apparaît dans la réunion écrite plus haut).

C'est la réciproque qui demande un tout petit peu plus de travail.
Mais le raisonnement est "automatique" : un élément de la réunion, c'est un élément de $A\in\text{cl}(M)$ pour un certain $M$ dans $R(\alpha I_n)$. Un tel élément s'écrit $A=PMP^{-1}$ avec $P\in\text{GL}_n(\mathbb C)$, et aimeriez montrer qu'il appartient  à $R(\alpha I_n)$... j'ai largement prémâché votre travail, désolé si ce n'est plus très constructif...

En tout cas il n'y a a priori pas de représentant diagonal dans la classe de similitude !

gai requin

Oui, OS a fait une très mauvaise lecture d'énoncé.
La question 2) est théorique.
Les questions pratiques de détermination de certains $R(\alpha I_n)$ viennent après.

OShine

@Kolakoski j'ai démontré ton égalité ensembliste avec l'union plus haut, ne l'as tu pas vu ? 
Pour la question $3$, soit $A \in R(I_n)$.
On a $cl(A)= \{ B \in M_n( \C) \mid \exists P \in GL_n(\C), \ \ B=P A P^{-1} \}$ avec $A^2= I_n$
Comment exhiber et trouve toutes les classes de similitude ?

gai requin

OS, tu devrais lire la preuve de Kolakoski plutôt que lui lise la tienne !

Pour tous $A,B\in R(I_n)$, $A$ et $B$ sont semblables $\Leftrightarrow \chi_A=\chi_B$.
Donc il y a autant de classes de similitudes dans $R(I_n)$ que de possibilités de polynômes caractéristiques pour une matrice de $R(I_n)$.

OShine

Kolakoski n'a peut être pas vu ma preuve, car je l'ai démontrée l'égalité ensembliste plus haut.
@gai requin d'accord merci ça me donne un axe de recherche.
Si $M \in R(I_n)$ alors $M^2=I_n$.
Donc $P(X)=(X-1)(X+1)$ est annulateur de $M$. Or le polynôme minimal est le polynôme de plus bas degré qui annule $M$. Donc $\pi_M \mid (X-1)(X+1)$

• Si $\pi_M =X-1$ alors $M=I_n$ d'après Cayley-Hamilton. Donc $\chi_M(X)=(X-1)^n$
• Si $\pi_M =X+1$ alors $M=-I_n$ d'après Cayley-Hamilton. Donc $\chi_M(X)=(X+1)^n$
• Si $\pi_M =(X-1)(X+1)$ alors $\pi_M(X)=\displaystyle\prod_{k=1}^n (X- \lambda_k)$ avec $\lambda_k \in \{-1,1 \}$

Je trouve toujours $2^n$ polynômes caractéristiques différents.

nicolas.patrois

Prends le cas $n=2$.

Tu as la classe de similitude de $I_2=diag(1,1)$, la classe de $diag(1,-1)$ et la classe de $-I_2=diag(-1,-1)$. Donc $2^2=3$. Donc je suis le pape.

gai requin

Pour tout $A\in R(I_n)$, il existe $0\leq k\leq n$ tel que $\chi_A(X)=(X-1)^k(X+1)^{n-k}$.

Kolakoski

Effectivement, j'étais resté bloqué sur le fait que pour l'inclusion "évidente", vous exigiez la diagonalisabilité...

L'inclusion réciproque est bien démontrée en effet. Comme on est sur les premières questions d'un sujet d'agrégation j'aurai tendance à écrire l'étape intermédiaire
$$A^2=(PMP^{-1})^2=PM^2P^{-1}=P\alpha I_n P^{-1}=\alpha I_nPP^{-1}=\alpha I_n$$
J'exagère sûrement, mais l'intérêt de la question est de nous faire dire que $\alpha I_n$ commute avec toutes les matrices $P$, et que c'est ça qui fait tout marcher (et qui ne marchera plus pour les autres matrices).

Je viens de regarder la correction de Philippe Caldero, et je vous trouve un peu dur, il est efficace, clair et il donne le bon réflexe : être réunion de classes de similitude c'est être stable sous l'action de conjugaison de $\text{GL}_n(\mathbb C)$... il produit beaucoup de contenu gracieusement et on devrait l'en remercier.
Enfin, le rôle d'un préparateur est aussi d'enseigner l'économie de temps quand elle est possible, et exhiber la réunion écrite plus haut peut se faire à titre préventif. Je propose une rédaction (qui est évidemment critiquable) :

Il suffit de montrer que pour tout $M\in R(\alpha I_n)$ et tout $P\in \text{GL}_n(\mathbb C)$, $PMP^{-1}\in R(\alpha I_n)$. Pour deux telles matrices : 
$$(PMP^{-1})^2=PM^2P^{-1}=P\alpha I_n P^{-1}=\alpha I_nPP^{-1}=\alpha I_n$$
D'où $PMP^{-1}\in R(\alpha I_n)$ et $R(\alpha I_n)$ s'écrit comme réunion de classes de similitude. Plus précisément, on a : 
$$R(\alpha I_n)=\!\!\!\bigcup_{M\in R(\alpha I_n)}\!\!\!\text{cl}(M)$$

Bon courage,
K.

Dom

Chaque vidéo a un but précis. 

Inutile de dézinguer, ni d’encenser. 

C’est un travail gracieux qui peut éclairer plein de « lecteurs ». 

La position du candidat face à sa copie, son stress et le temps limité n’a pas lieu d’être ici, quand on visionne quelque chose de son canapé. 

OShine

Nicolas Patrois comment tu fais pour trouver les classes d'équivalence pour $n=2$ ? Quelle est la méthode ? 
Tu as résolu $X^2=I_n$ en posant une matrice avec des coefficients ? 
Kolakoski ok merci.
Gai Requin, donc ça fait $k(n-k)$ possibilités ? Bizarre on ne connait pas $k$. 
Je ne comprends pas les maths que fait Philippe Caldéro mais tant pis, je suis libre de ne pas regarder ses vidéos, elles conviendront peut être à des gens très doués.

OShine

Je n'ai pas compris comment on dénombre les polynômes caractéristiques.