Convergence d'une série vers zéro

Niser

Bonjour,
Soit $u^\epsilon \to u$ dans $L^2$ quand $\epsilon\to 0$, avec $\|u\|_{L^2}<1$. On considère deux bases hilbertiennes de $L^2$, $(f_n)$ et $(f_n^\epsilon)\, $, où $f_n^\epsilon \to f_n$ dans $L^2$, pour tout $n \in \N$.
Je veux montrer que $$
\sum_{n=0}^\infty\big\lvert\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon\rangle  -\langle u \mid f_n\rangle \big\rvert^2 \to 0\,, \quad \epsilon\to 0\,.
$$ Il est évident de voir qu'on a convergence de $\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon\rangle $ vers $\langle u \mid f_n\rangle $. Par contre, je n'arrive pas à montrer que la série ci-dessus est normalement convergente...
Merci d'avance !

Edit: Comme $u^\epsilon \to u$ alors on devrait avoir $\|u^\epsilon\|_{L^2} \to \|u\|_{L^2}$, c'est-à-dire $$
\sum_{n=0}^\infty\big\lvert\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon\rangle \big\rvert^2 \to \sum_{n=0}^\infty\big\lvert\langle u \mid f_n\rangle \big\rvert^2 \,,
$$ je me demande si ça pourrais aider...

malavita

Salut,

déjà normalement convergente c'est étrange pour une série numérique...Sinon, as tu essayé de bricoler un truc avec la convergence dominée ? Grosso modo, si tu arrives à majorer le terme général de ta série par le terme général d'une série convergente indépendant de $\epsilon$, c'est gagné ;-)

A+

F.

Niser

C'est-à-dire, si on a une suite $(a_n^\epsilon )$ tel que $a_n^\epsilon \to a_n$ avec $a_n^\epsilon-a_n \leq b_n$ où $\sum_ {n=0}^\infty b_n<\infty$ alors $$
\sum_ {n=0}^\infty ( a_n^\epsilon-a_n ) \to 0\quad ?$$ 
Ici comme $\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon \rangle \to \langle u\mid f_n \rangle$, alors pour $\epsilon$ assez petit on a $\lvert\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon \rangle \rvert<2 \lvert\langle u\mid f_n \rangle\rvert$ et donc  $$
\sum_{n=0}^\infty\big\lvert\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon\rangle  -\langle u \mid f_n\rangle \big\rvert^2 \lesssim \sum_{n=0}^\infty \lvert\langle u \mid f_n\rangle\rvert^2 =\|u\|_{L^2}^2?
$$

malavita

Oui, pour ta première question. Pour la deuxième, il faut se méfier du "epsilon assez petit": ta majoration doit être uniforme en $\epsilon$, c'est à dire que ton inégalité doit être du genre:

$\forall \epsilon \in\, ]0,a[, \ \forall \in \N,\ |<u^\epsilon,f_n^\epsilon>| \leq 2|<u,f_n>| $.

Bonne journée

F.

Niser

Merci beaucoup !