Équations matricielles

etanche

Bonjour


Existe-t-il $A,B \in M_n(k)$ avec $k=\Q$ ou $\R$ ou $\C$ qui vérifie les deux équations 

$A^2(3I_n -2A) + B^2(3I_n -2B) =5I_n$ 

et 

$A(I_n -A) + B(I_n-B) = \frac{1}{6}I_n$ ?

Merci

marco

Bonjour,

Il a été montré dans un sujet d'analyse qu'il y a des solutions dans $\C$, les solutions $x$ et $y$ étant algébriques sur $\Q$. On considère donc l'extension $\Q(x,y)$ de $\Q$ qui est de dimension finie sur $\Q$. Soit $\mathcal{B}$ une base de cette extension, et $A$ la matrice de la multiplication par $x$, $B$ la matrice de la multiplication par $y$ dans cette base, alors $A$ et $B$ sont des matrices à coefficients dans $\Q$ qui vérifient les deux égalités.