Le "il est aisé d'assurer" veut dire que c'est le résultat d'un calcul facile. À toi de le faire : tu as y(x), tu peux calculer y'(x). En utilisant bien le fait que $y_1$ est une solution.
Est-ce qu'il ya une erreur dans ce passage ? On cherche un polynôme de même degré si $b\neq 0$, de degré +1 si $b=0$ et $a\neq 0$ et de degré +2 si $b=0$ et $a\neq 0$? Pouvez-vous me corriger ce passage. Merci
Je suppose qu'il s'agit de l'équation y"+ay'+by = f(x) avec a et b constantes. Si b est nul, le changement de fonction inconnue Y=y' ramène à résoudre une équation du premier ordre pour trouver Y, puis une intégration donne y.
Sinon, tu as bien décodé l'énoncé, à l'erreur de copie finale (et de degré +2 si a=0 et b=0). Note que dans ce cas, on a directement la solution par une double intégration.
Merci à vous, juste une remarque concernant cet exercice:
Normalement, l'équation admet une solution particulière de degré 2. Pourquoi il considère juste un polynôme de la forme $Ax^{2}e^{-x}$ et non pas $(Ax^{2}+Bx+C)e^{-x}$?
Une solution particulière est ... particulière. C'est une seule parmi l'infinité des solutions possibles. Si Ax²+Bx+C est une solution (pour des valeurs particulières de A, B et C, alors Ax² est aussi une solution particulière puisque Bx+C est solution de l'équation sans second membre (homogène). Inutile de compliquer le calcul en le rajoutant.
Si tu ne comprends pas, fait le calcul tu verras .... (*)
(*) en fait le calcul ne donnera pas de valeur à B et à C.
Là j'ai compris. Merci. Cette astuce on la fait toujours ? Ou bien c'est juste dans les cas où l'équation homogène a une partie de la forme $\lambda_{1}+\lambda_{2}x$ (l'équation caractéristique admet une racine double) ?
On la fait chaque fois que ça peut servir, évidemment. Ce n'est pas une grosse astuce, seulement une application du théorème sol gen=sol part+sol gen essm.
Réponses
On cherche un polynôme de même degré si $b\neq 0$, de degré +1 si $b=0$ et $a\neq 0$ et de degré +2 si $b=0$ et $a\neq 0$?
Pouvez-vous me corriger ce passage.
Merci
juste une remarque concernant cet exercice:
Normalement, l'équation admet une solution particulière de degré 2. Pourquoi il considère juste un polynôme de la forme $Ax^{2}e^{-x}$ et non pas $(Ax^{2}+Bx+C)e^{-x}$?
Cette astuce on la fait toujours ? Ou bien c'est juste dans les cas où l'équation homogène a une partie de la forme $\lambda_{1}+\lambda_{2}x$ (l'équation caractéristique admet une racine double) ?