Un système non linéaire d'équations...

Aguelord

Bonjour, je me replonge dans les maths après un moment.

Je souhaite montrer que le système d'équations suivant n'admet pas de solutions sur $[0,1]^2$.

$$E:\left\{
    \begin{array}{rcr}
        x^2(3-2x)+y^2(3-2y) & = & 5 \\
        x(1-x)+y(1-y) & = & 1/6 \\
    \end{array}
\right.$$

J'ai pu montrer que ce système était équivalent à un système matriciel de la forme $A\cdot X = B$ :

$$\begin{pmatrix}
    -2 & 3 & 0 \\
    0 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
    x^3+y^3 \\
    x^2+y^2 \\
    x+y \\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
    5 \\
    1/6 \\
\end{pmatrix}$$

$\begin{pmatrix}
    -2 & 3 & 0 \\
    0 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}$ n'étant pas inversible (une matrice [non] carrée ne peut pas être inversible, si ma mémoire est bonne), le système n'admet pas de solution, mais graphiquement j'ai trouvé des points hors de $[0,1]$ qui sont solutions de ce système en passant par des courbes paramétrées ; je n'ai, dans mon raisonnement, absolument pas utilisé l'hypothèse que ce système doit être résolu dans $[0,1]$, c'est bizarre...

gebrane

Il me semble que ton système n'admet pas de solution dans $\R^2$. La deuxième équation est celle du cercle de contre $\frac 12$ et de rayon $\frac 1{\sqrt 3}$. Donc les points de ce cercle vérifient $x>0$ et $y>0$. Essayer de montrer que les point de la première courbe vérifient $x<0$ ou $y<0$, donc une rencontre entre ce deux courbes est impossible

etanche

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+x%281-x%29%2By%281-y%29%3D1%2F6+%2C+x%5E2%283-2x%29+%2By%5E2%283-2y%29%3D5

Rescassol

Bonjour,

Gebrane, presque!
Il n'y a pas de solution dans $\R^2$, mais le cercle déborde en dehors de $[0;1]^2$.
Tu aurais pu écrire $x>0$ ou $y>0$ (pour le cercle).

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonjour,
On peut faire un changement de repère  $\left\{     \begin{array}{rcr} x=X+Y \\ y=X-Y \\ \end{array} \right.$
Cordialement,
Rescassol

gebrane

Bon, 0 pour gebrane.

Dom

Non. 

Il a vu un cercle que d’autres n’auraient pas vu. 

Pas $0$ !

etanche

Est-ce que la courbe en rouge est connue ? Merci