Fonction de classe $C^\infty$ qui tend vers 0 en plus l'infini
Bonjour
Soit $f$ de classe $C^{\infty}$ de $\R$ dans $\R$ tendant vers $0$ en $+\infty$ et tel qu'il existe $x_0$ vérifiant $f(x_0) f'(x_0) \geq 0$.
1) Prouver l'existence de $x_1 \geq x_0$ tel que $f'(x_1)=0$.
2) Prouver l'existence d'une suite $(x_k)_{k \in \N^{*}}$ strictement croissante telle que $\forall k \in \N^{*}, \ f^{(k)} (x_k)=0$.
J'ai compris sur un dessin mais je ne vois pas comment faire la démonstration.
Pour la 2 ça veut dire que la fonction va osciller une infinité de fois en s'approchant de $0$ ?
Soit $f$ de classe $C^{\infty}$ de $\R$ dans $\R$ tendant vers $0$ en $+\infty$ et tel qu'il existe $x_0$ vérifiant $f(x_0) f'(x_0) \geq 0$.
1) Prouver l'existence de $x_1 \geq x_0$ tel que $f'(x_1)=0$.
2) Prouver l'existence d'une suite $(x_k)_{k \in \N^{*}}$ strictement croissante telle que $\forall k \in \N^{*}, \ f^{(k)} (x_k)=0$.
J'ai compris sur un dessin mais je ne vois pas comment faire la démonstration.
Pour la 2 ça veut dire que la fonction va osciller une infinité de fois en s'approchant de $0$ ?
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Réponses
On ne parle pas d'une infinité de valeurs x telles que $f(x) = 0$ ,
ni même d'une infinité de valeurs x telles que $f'(x) = 0$,
ni même d'une infinité de valeurs x telles que $f''(x) = 0$
Ces cas seraient synonymes d'oscillations (éventuellement dans un sens très large ... )
On parle d'une infinité de valeurs x telles que ... ...
Pour la question 1, je sais faire.
Par hypothèse, on a $x_0$ tel que $f(x_0)$ et $f'(x_0)$ sont de même signes.
Supposons qu'ils sont tous les 2 négatifs, pour coller avec le dessin.
Si pour tout $x$ supérieur à $x_0$, $f'(x)$ était également négatif, la fonction serait décroissante, elle ne pourrait pas avoir pour limite 0.
Et donc, il existe $x_2$, supérieur à $x_0$, tel que $f'(x_2) > 0 $
Puis, en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à cette fonction $f'$, puisqu'elle est négative en $x_0$ et positive en $x_2$, il existe $x_1$, entre $x_0$ et $x_2$, tel que $f'(x_1) =0$
Cette première question, elle est triviale. Pour que les élèves les plus faibles ne repartent pas en rendant copie blanche.
A mon avis, elle sert aussi à nous donner une piste pour la 2ème question.
Mais comme je n'ai pas le courage ni le temps de chercher plus de 2 minutes, j'abandonne. Je ne vais pas intégrer l'ENS cette année.
1er cas : $f'(x_0)=0$ alors on prend $x_1=x_0$
2ème cas : $f'(x_0) \ne 0$ et $f(x_0)=0$. Supposons $f'(x_0) >0$
Alors il existe $\eta >0$ tel que $f$ soit strictement positive dans un voisinage $]x_0,x_0+\eta]$. Donc $\boxed{f(x_0+\eta) >0}$
Mais $f$ tend vers $0$ en plus l'infini donc il existe $x_1 > x_0+ \eta$ tel que $f(x_1) < f(x_0+\eta)$.
Ainsi, $f$ est localement décroissante et il existe $x_0 \leq x_2 \leq x_1$ tel que $f'(x_2) \leq 0$.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $x_3 \in [x_2,x_0]$ tel que $f'(x_3)=0$.
3ème cas : $f(x_0) f'(x_0) >0$.
Supposons que $f(x_0)>0$ et $f'(x_0) >0$. Sinon on refait le même travail avec $-f$.
$f$ est croissante dans un voisinage à droite de $x_0$.
Comme $f$ tend vers $0$ en plus l'infini, il existe $x1 > x_0$ tel que $f(x_1) < f(x_0)$.
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, $f$ étant continue et dérivable sur $\R$, il existe $x_2 \in ]x_0,x_1[$ tel que $f'(x_2)=0$.
Pour la question $2$ ça veut dire quoi concrètement une fonction dont la dérivée k-ième s'annule ?
Je suppose que c'est une récurrence sur $k \in \N^{*}$. L'initialisation a déjà été démontrée.
Supposons que pour $k$ fixé, on ait $f^{(k)} (x_k)=0$.
Si par l'absurde, $f^{(k+1)} $ ne s'annule pas sur $]x_k,+ \infty [$, alors $f^{(k)}$ serait strictement monotone avec une limite non nulle en plus l'infinie.
On peut supposer que $f^{(k)}$ est strictement croissante, alors sa limite vaut soit $\ell >0$ soit $+\infty$.
Mais après je bloque.
Je ne comprends à quoi ça sert d'écrire $f^{(k-1)} (x)=f^{(k-1)} (x_k)+ \displaystyle\int_{x_k}^{x} f^{(k)} (t) dt$ ni pourquoi ça tend vers $ \pm \infty$ ni pourquoi par récurrence $f$ tend vers $\pm \infty$.
Je ne comprends pas le raisonnement à partir de cette égalité.
Supposons que $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x)= \ell \in \R^{*} \cup \{ \pm \infty \}$. Montrons que $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= \pm \infty$
Je n'ai jamais vu ce résultat dans un cours. J'ai essayé de le démontrer avec les epsilon, mais je n'ai pas réussi.
Si $\ell =1$ alors il existe $M \in \R$ tel que pour tout $x \geq M$ on ait $| f'(x)-1| \leq \varepsilon$
Je ne vois pas l'idée.
Si $\varepsilon=1/2$ alors $\exists M \in \R ,\ \ x \geq M \ \implies 1/2 \leq f'(x) \leq 1$
En intégrant entre $0$ et $x$ comme $f' \in C^{\infty}$, on a $\exists M \in \R ,\ x \geq M \implies f(x) \geq f(0)+x$
Fixons $A \in \R$. Si on prend $M=A-f(0)$ alors $x \geq M \implies f(x) \geq A$ ce qui montre que $f$ tend vers $+\infty$ au voisinage de $+\infty$.
Peut-être que ces corrigés sont conçus pour des gens qui ont un minimum de clairvoyance, tout simplement ?
Je vais traiter un seul cas. Supposons que $\ell >0$.
Comme $f'$ tend vers $\ell$ en plus l'infini, on peut prendre $\varepsilon= \ell /2>0$.
Il existe $M \in \R$ tel que $x \geq M \implies \ell /2 \leq f'(x) \leq 3 \ell /2$
On intègre entre $0$ et $x$, ce qui donne $\dfrac{ \ell}{2} x \leq f(x) -f(0) \leq \dfrac{ 3 \ell}{2} x$
Ainsi, $\exists M \in \R \ x \geq M \ \implies f(x) \geq f(0)+ \dfrac{\ell}{2} x$
Fixons $A \in \R$. Il suffit de prendre $x \geq M'= \max(M, \dfrac{2}{ \ell} ( A -f(0)) )$ pour obtenir $f(x) \geq A$.
On a montré que $\forall A \in \R \ \ \exists M' \in \R \ \ x \geq M' \implies f(x) \geq A$.
Ce qui montre que $f$ tend vers plus l'infini au voisinage de plus l'infini.
La pente a pour limite $l$, peu importe que cette limite soit atteinte par 'en-dessus' ou par 'en-dessous', ou autrement.
Oui, c'est effectivement faisable... Mais ça risque de plonger Oshine dans un nouvel abîme de perplexité.
Avec $f$ dérivable seulement, à mon avis il faut travailler localement avec les voisinages, ça me semble plus dur, c'est ce que j'avais essayé au départ. On ne peut plus intégrer si $f'$ n'est pas continue.
@gerard0 avec l'exemple de Lourran il y a un problème.
La limite de la dérivée tend vers $1$ en plus l'infini alors que la pente de la courbe de $f$ est de moins en moins grande.
Normalement la pente devrait rester constante.
Si cette notion de direction asymptotique te pose problème, voici un lien pour réviser : https://homeomath2.imingo.net/braninf.htm