Endomorphisme de rang 1

OShine

Bonjour,

Soit $E$ un $\C$ espace vectoriel de dimension $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$ de rang $1$.
Je ne comprends pas comment obtenir la somme directe.

JLapin

Essaye de le démontrer par écrit si tu n'y arrives pas de tête.

bisam

Pour la 77ème fois : tout vecteur $b$ qui n'est pas inclus dans un hyperplan $H$ dirige une droite qui est supplémentaire de cet hyperplan.

OShine

@bisam ok merci. Il suffit donc de prendre $b$ dans $Im(u)$ privé de $\ker(u)$.

@JLapin
D'accord.
Il faut montrer que $\ker(u) \cap Im(u)= \{0 \}$
Soit $x \in \ker(u) \cap Im(u)$. Alors $u(x)=0$ et il existe $y \in E$ tel que $x=u(y)$. 
Comme $rg(u)=1$ il existe $\lambda \in \C$ tel que $\forall z \in E \ u(z)=  \lambda z$
Donc $x= u(y)= \lambda y$ et comme $u(x)=0$ alors $\lambda^2 y=0$
Si $y=0$ alors $x=0$ et on a le résultat.
Sinon, si $y \ne 0$ alors $\lambda^2=0$ donc $\lambda=0$ et $x=0$
On a montré $\boxed{\ker(u) \cap Im(u)= \{0 \}}$ et par le théorème de rang on a la somme directe.

Heuristique

Ta phrase " il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $\forall z \in E, u(z) = \lambda z$" est fausse. C'est la définition d'une homothétie, pas d'un endomorphisme de rang 1.

Il faut donc refaire une toute autre démonstration.

noobey

"Comme $rg(u) = 1$ il existe $\lambda$ tel que pour tout $z$, $u(z) = \lambda z$"

Ce level...

bd2017

Doit faire des problèmes de Normal Sup pour progresser.

JLapin

Et lire beaucoup de rapports de jury !

OShine

D'accord merci. Comme $u$ est de rang $1$, $Im(u)$ est une droite vectorielle. Notons la $D=\C a$ avec $a \in E$.
Soit $x \in \ker(u) \cap Im(u)$. Alors il existe $y \in E$ tel que $x=u(y)$ avec $u(x)=0$.
Comme $u(x)$ et $u(y)$ sont dans l'image de $u$ alors ils appartiennent à $D$.
Ainsi, $x \in D$ et il existe $\lambda_x$ tel que $x = \lambda_x a$ donc $u(x)= \lambda_x u(a)=0$
Je m'embourbe je ne vois pas comment faire.

JLapin

Relire l'énoncé.

Ou ne pas chercher à comprendre des corrections qui présupposent bien plus que ce que tu maitrises.

lourrran

Comment faire ? Passer à une autre exercice. Ou reprendre les bases.

bisam

1. Justifier que Im(u) est une droite.
2. Justifier que cette droite contient un vecteur b qui n'est pas dans Ker(u).
3. Conclure avec ce que j'ai dit précédemment.

Il n'y a AUCUN calcul à faire !

bd2017

pas vu les messages précédents

OShine

Non l'exercice est de difficulté moyenne, c'est Mines Telecom.

@Bisam j'essayais de faire avec une autre méthode, en démontrant directement sans utiliser les hyperplans...

$rg(u)= \dim Im(u)$ donc $Im(u)$ est une droite.
$Im(u)$ n'est pas contenu dans $\ker(u)$ donc il existe un élément dans $Im(u)$ qui n'est pas dans $\ker(u)$.
On pose $H=\ker(u)$ d'après le cours $E$ est somme directe avec un hyperplan et toute droite vectorielle engendrée par un vecteur qui n'est pas dans $H$.

noobey

Tres drôle le "d'apres le cours"
Au moins ca t'evite de corriger ta démo de tout à l'heure 

lourrran

Si je me souviens bien, $\ker(u)$, c'est l'image réciproque de $\{0\}$ par $u$.
Et donc , si $lm(u) \subset \ker(u)$ alors $u \circ u = 0$ l'application nulle.
Par ailleurs si une matrice $A$ est diagonalisable, $A^2 \neq 0$.
Mais je dois me tromper. $\ker(u)$, ça doit être autre chose, sinon c'est trop facile. 

OShine

Lourran oui c'est juste. 

Noobey je ne sais pas faire sans le résultat du cours donné par Bisam.
Je n'ai pas réussi. 

JLapin

Et pourtant, tu as essayé au moins 5 minutes. Ça doit être vraiment difficile...
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

jean-éric

Bonsoir,

Un lien utile : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2329011/diagonalisation

Soit $A$ un endomorphisme de rang 1, alors il existe $u$ et $v$ deux vecteurs non nuls tels que $A=u v^t$.

Cela peut aider... signalé sur le fil précédent.

Jean-éric

OShine

Jean-éric je ne vois du tout comment l'utiliser ici.
Soit $A$ la matrice associée à $u$/
Soit $X \in \ker(A) \cap Im(A)$ alors $AX=0$ et $X=AY$ 
Donc $UV^T X=0$ et $X=UV^T Y$
Je ne vois pas quoi faire de tout ça.

bd2017

puisque Im A est dans ker A. alors A^2=0. déjà dit. 
Alors A n'est pas diagonalisable car zéro est la seule valeur propre.

OShine

On parle de la réciproque. Le sens direct est facile. 
Le corrigé utilise une contraposée.
Mais je voulais démontrer $E=\ker(u) \bigoplus Im(u)$ en démontrant $Im(u) \cap \ker(u)= \{ 0\}$ mais je n'ai pas réussi.

bd2017

$Im (u)$ est de dimension 1 alors s'il avait une intersection non réduite à $0$  avec  $Ker(u)$ cela signifierai  qu'il est inclus dans Ker(u).

Qu'y a-t-il a démontrer?

Bref,  l'exercice est quasiment fait 2 fois  avec un  lien donné ci-dessus et où tu avais terminé par "j'ai compris". Mais cela est passé aux oubliettes, et,  à  la place de cela, on a le droit au copié-collé du corrigé.

Il ne manque plus que le rapport du Jury.  

OShine

Bien vu Bd2017 ! 

jean-éric

OShine a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2343425/#Comment_2343425

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Bonjour
En écrivant $A=uv^t$ il est facile de déterminer Im$A$ et $\ker A$. Que vaut par exemple $Av$ ? ou bien soit $x\in v^\perp$ que vaut $Ax$ ? Cela donne alors une vision simple (à mon sens) de Im $A$ et $\ker A$, en argumentant sur la dimension et en montrant que leur intersection est réduite au vecteur nul.
C'est une "bonne" piste je pense pour répondre.
Jean-éric.

OShine

On a $Av= u ||v ||^2$ et si $x$ est dans l'orthogonal de $v$ alors $Ax=0$
Honnêtement je ne comprends pas trop cette méthode. Ça m'a l'air de compliquer les choses, on ne connaît ni $u$ ni $v$.

gai requin

Tiens OS, toi qui aimes bien l'algèbre linéaire, tu devrais t'entraîner sur ce sujet.
En plus là, pas question d'essayer de comprendre le corrigé d'un vieux livre ou d'un vague rapport de jury

Rescassol

Bonjour,

Il va nous faire le corrigé 

Cordialement,
Rescassol

OShine

Gai Requin les exos 1, 2 et 4 ne m'ont pas l'air infaisables.
Le 3 je ne peux pas faire, je ne connais pas la théorie des corps.
Le problème utilise les ensembles quotients, je n'ai jamais étudié cette notion.

gai requin

Très bien, alors montre nous que les exos 1,2,4 sont faisables

OShine

Ok on va voir si j'ai le niveau pour faire l'exercice 1.

OShine

Phil Caldéro dit que l'exo 1 est difficile.

gai requin

Du très classique pourtant...

OShine

Il dit que c'est plus facile à partir de l'exercice 3. 

Déjà je bloque à la première question, mais j'ai l'espoir de la trouver.