Topologie définie par une norme

Abdoumahmoudy

Bonjour, svp lorsqu'il est demandé de comparer les topologies d'une norme, il faut faire quoi ? Ou bien qu'est-ce que signifie une topologie définie par une norme ?
Merci d'avance.

Dom

Avec une distance (synonyme : métrique) on peut définir des boules ouvertes (et fermées) donc une topologie. 

Avec une norme, on peut définir une distance qui découle de la norme $||x-y||$. 

Comparer dans ce cadre signifie « les ouverts de l’une sont-ils des ouverts de l’autre ? ». 

raoul.S

Par contre moi je connais la topologie induite par une norme pas les topologies induites par une norme...

[Utilisateur supprimé]

La topologie définie par un espace normé (E,n) est la topologie T telle que l'ensemble des boules ouvertes de (E,n) est une base topologique de T.

Abdoumahmoudy

Dom a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2343218/#Comment_2343218

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Voilà، mais comment montrer qu'une topologie est moins fine qu'une autre, ou d'autre part, comment montrer que les ouverts de la première sont inclus dans le deuxième ensemble ?

Dom

Des infos ici : 
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Norme_équivalente

« norme plus fine » et « topologie plus fine » dans la Proposition 1.