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Localisation des racines d’un polynôme (ENS)

Modifié (February 2022) dans Analyse
Bonsoir, je peine à résoudre cet exercice à partir de la question 2, quelqu’un pourrait il m’aider ? 

Pour la première question, j’ai remarqué que P(an-1)<0 puis que si la somme des ai est plus petite que 1, alors P(1)>0. Sinon, P(Somme des ai)>0 et j’applique le TVI. Qu’en pensez vous ?
Merci.
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Réponses

  • MrJMrJ
    Modifié (February 2022)
    La question 2 peut induire en erreur : il s’agit d’une inégalité générale sur les racines d’un polynôme (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_d'un_polynôme_réel_ou_complexe#Une_première_estimation ). Il ne faut donc pas chercher à exploiter absolument la forme particulière de $P$ dans cette question.

    Pour la question 3, je pense qu’il peut partir de $|z^n|= |z^n -P(z)|$, puis majorer convenablement.

    Pour la question 4, tu peux calculer $n P(r) - rP’(r)$. Il me semble que l’on peut aussi s’en sortir en utilisant la fonction $x\mapsto P(x)/x^n$ sur $]0, +\infty[$.
  • Bonsoir et merci pour votre aide. Étant de niveau math spé, m’est il possible de conclure la dernière étape sans le théorème de rouche cité par Wikipedia ? 
  • MrJMrJ
    Modifié (February 2022)
    Il n’y a que besoin de l’expression de la somme des termes d’une suite géométrique. Si $z\in\mathbb{C}$ est une racine de $P$ telle que $|z|>1$ (l’autre cas est trivial), alors on a
    \[ |z|^n \leq \sum_{k=0}^{n-1} |a_k| |z^k| \leq \big(\max_{k=0}^{n-1}|a_k|\big)\times \dfrac{|z|^n-1}{|z|-1} \leq \big(\max_{k=0}^{n-1}|a_k|\big)\times \dfrac{|z|^n}{|z|-1},\] d’où le résultat.
  • J’avais justement réussi ces étapes mais je n’ai pas pu conclure en quoi le résultat est direct après cela, pouvez vous détailler ? Merci 
  • MrJMrJ
    Modifié (February 2022)
    Il suffit de diviser par $|z|^n>0$ et de multiplier par $|z|-1>0$ l’inégalité précédente.
  • Modifié (February 2022)
    Merci, j’ai été très mauvais sur ce coup là 
    pour la 4, j’arrive à montrer que rP’(r)-nP(r) est strictement positif donc la racine est simple, mais je n’arrive pas à faire apparaître r dans la majoration de la 3). Pourriez-vous m’aiguiller davantage la dessus ? 
    Merci encore.
  • MrJMrJ
    Modifié (February 2022)
    Si $z\in\mathbb{C}$ est une racine de $P$, alors on a
    \[ |z^n| = \left|\sum_{i=0}^{n-1} a_i z^i \right| \leq \cdots.\]
    On en déduit le signe de P(|z|), ce qui permet de conclure en utilisant la définition de $r$.
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