Une équation triviale à montrer mais très puissante

S0_

Soit a et b deux nombres réels ; il existe s réel tel que a²+s(ab)+b²=0
Avec cette équation on peut monter de grandes formules nouvelles en algèbre comment en géométrie...

Rescassol

Bonjour,

Et si $a=0$ et $b=1$ ?
Et puis, je n'ai pas l'habitude de "monter" des formules.

Cordialement,
Rescassol

S0_

Des réels non nuls je voudrais mettre... quand je dis : ''monter je sais de quoi je parle m.rescassol

gerard0

Heu ... avec a et b non nuls, $s=-\frac{a^2+b^2}{ab}$ et ta formule est $a^2-\frac{a^2+b^2}{ab}ab+b^2=0$.

On attend des exemples de " grandes formules nouvelles en algèbre comment en géométrie" démontrées par cette identité.

S0_

D'accord m.gerad0 je vais essayer de les prouver ici... Merci aussi pour l'erreur soulignée ; c'est l'automatisme du clavier...

Rescassol

Bonjour
>  ''monter je sais de quoi je parle m.rescassol

Et tu montes avec une selle ou à cru ?
Cordialement,
Rescassol

gebrane

Il dit dans son titre

Une équation triviale à montrer mais très puissante

On a compris pour trivial, maintenant montre nous sa puissance s'il te plait, please 

raoul.S

https://giphy.com/gifs/alaskaairlines-xT0xeHDVBcAulhRJRK/fullscreen

i.zitoussi

Oui, ça dépote bien. Il y a pas mal de trucs qui devraient tomber avec cette formule.

nicolas.patrois

Des avions et des gratte-ciel, par exemple.

Boécien

Je suis déçu de voir que cela n'a pas d'application en théorie des nombres.

Zgrb

Je pense avoir démontré la conjecture de Syracuse grâce à la puissance de cette équation, merci !

Boécien

Je me disais bien aussi que l'annonce à propos d'applications en algèbre et géométrie était trompeuse.

S0_

Soit a et b deux réels non nuls ; il existe s tel que a²+s(ab) + b²=0... Comme je l'avais affirmé c'était très facile à prouver...
Nous allons essayer de voir une première idée de cette équation

Nous considérons cette forme d'équations où nous fixons b et nous cherchons les ''a'' solutions de cette équation.... Au départ s est donné Et permet un ensemble non vide...
Par la méthode de résolution on retrouve deux solutions confondues ou distinctes x et x' de formes x=(d)b et x'=(d')b

Nous considérons une autre équation de cette même nature : a'²+s'(a'b')+b'²=0 avec une résolution d'ensemble non vide. Ainsi y et y' sont deux solutions distinctes ou confondues de formes y=(f)b' et y'=(f')b'

Soit E l'ensemble des solutions de la première équation et F celui de la deuxième équation....
E×F contient au plus quatre éléments....
On pose z=i+j avec (i,j) un élément de E×F....
On désigne par W l'ensemble des ''z'' ....
Donc W contient au plus quatre éléments

Pour la suite nous désirons réunir W à un singleton et nous posons aussi b=b' tel que le singleton W existe....
Ainsi on a:
 z=(d+f)b=(d+f')b'=(d'+f)b''=(d'+f')b''' c'est-à-dire les b, b', b'' et b''' permettent  de conserver z....
propriété (1)
(1/b)+(1/b''')=(1/b')+(1/b'')
Propriété (2)
(b+b''')(b'+b''')=z²
La première propriété je ne l'ai pas encore fait essayer avec grande chose en géométrie mais la seconde permet l'automatisme des éléments mobiles dans le plan et ceci fera l'objet du troisième poste....
Les commentaires  et les appréciations sont les bienvenus

Cordialement.

[Restons dans la discussion que tu as déjà ouverte sur le sujet. AD]

gerard0

"Au départ s est donné Et permet un ensemble non vide..." Condition sur s ? (niveau classe de première). Un minimum de politesse aurait été de donner cette condition.

"x et x' de formes x=(d)b et x'=(d')b" Que signifient ces notations (d)b et x'=(d')b" ? Qui sont b' et b" ? Ont-ils un lien avec b ? Un minimum de politesse aurait été de donner la signification des lettres utilisées et d'employer les notations usuelles.

Arrivé là, on constate un refus de communiquer, remplacé par une imitation malsaine d'un document mathématique. On commence à s'inquiéter d'une éventuelle escroquerie. Et la suite "Nous considérons une autre équation de cette même nature : a'²+s'(a'b')+b'²=0" montre un auteur qui n'est même pas capable d'utiliser la même lettre pour l'inconnue identique de deux équations. Donc totalement incompétent, et voulant se faire passer pour ce qu'il n'est pas ...  Escroquerie, vous dis-je.

NB : En plus, il a créé une nouvelle discussion pour parler de la même chose, histoire de bien tromper ceux qui n'ont pas vu la première, avec les réponses qui ont été faites.

S0_

M.gerad0
de qui je t'avais dit que j'étais??? et tu parles de quelle escroquerie ???
Tu sais quoi???
On ne se connait pas mais la mathématique ne permet pas des injures mais des contradictions oui...
Jusqu'ici mon cher ; je n'ai même pas vu ce que tu veux.
S'il y une erreur alors pose là bien au lieu d'étaler ta perception sur ma personne...
À l'ismp (institut mathématiques...), je l'ai  fait au séminaire et je continue d'augmenter le volume...
Je n'ai pas besoin de ce que tu penses de ma personne mais plutôt de ce que tu n'as pas compris...
C'est quoi tu veux au juste ???
La première est une classe que tu connais déjà et pourquoi ce serait manque de respect???... Si toi tu ne connais pas la condition ; alors demande la moi...
J'établis moi-même mes choses et je regarde simplement les règles justes de la mathématique...
Cordialement.

biely

Je crois que j’ai trouvé ce fameux ISMP!
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=2ahUKEwi-hbL7uP_1AhUJHxoKHQn-CPsQFnoECAUQAQ&url=https://www.ismp-vendee.com/&usg=AOvVaw33WgpNmj3RYdvx31ivUzwK

S0_

M.biely

Bonjour 
Tant mieux...
L'imsp c'est une institut de mathématiques et de sciences physiques qui se trouve au Bénin.

Je pouvais simplement écrire les propriétés sans aucune idée d'où ça vient mais j'ai fait ce que j'ai à faire pour permettre aux gens de me dire les choses incohérentes.
Et aussi je ne crois pas... mais bon...
Cordialement.

Rescassol

Bonjour,

Appréciation: A touché le fond, mais creuse encore !!

Cordialement,
Rescassol

Dom

Et la légendaire :  
Travaille comme un cheval, réussit comme un âne. 

Sarcasme vespéral, rien de plus. 

nicolas.patrois

ev te répondrait qu’un âne est intelligent… plus qu’un cheval.

Dom

C’est un insoumis, ce n’est donc pas lié à l’intelligence 😂

S0_

M.rescassol 
Bonjour
Je comprends correctement votre commentaire
L'utilité vous aidera....

Cordialement

Zgrb

Peut-être faudrait-il donner un exemple, parce que tes notations ne sont pas claires du tout !

S0_

M.Zgrb

Bonjour 
Je vais donner un exemple dans peu de temps...

gebrane

Je commence

Une application sur les matrices

Soit deux matrices $A,B\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, on suppose qu'il  existe un réel non nul $s$ tel que $A^2+s AB+B^2=O_2$

Montrer que si $s\in ]-2,2[$ , forcément $ AB=BA$

Une autre application en arithmétique Soit deux entiers naturels a et b. On suppse qu'il existe $s\in\mathbb Z$ telque $a^2+sab+b^2=0$ montrer que $a=b$

(Soyons claire, dans mon temps libre, j'ai pris comme amusement d'inventer des problèmes utilisant ou se ramenant à l'équation a²+sab+b²=0)

kioups

Avec s=2 par exemple ?

gebrane

Bonjour  @kioups  J'ai évité les cas triviaux $s=\pm 2$, car  le shtam oblige.
Par exemple si $s=-2$ , on suppose donc que $A^2-2 AB+B^2=O_2$. On sait que pour des matrices carrés quelconques $$(A-B)^2 =A^2+B^2-2AB\iff AB=BA$$, donc il suffit de démontrer que $(A-B)^2=O_2$. On note $C=A-B$, d'où en utilisant que  $A^2-2 AB+B^2=O_2$, on trouve que $C^2=CA-AC$ donc $Tr(C)=0 $ .
Forcément $det(C)=0$ Car sinon on tombe sur une contradiction en exploitant le fait que $I=C^{-1} C^2C^{-1}.$

On conclut  donc que $C^2=O_2$

gebrane

Application 3 en géométrie
Soit un triangle ABC   . On suppose que  les mesures de ces cotés sont des entiers naturels . En utilisant la puissante égalité de  So , Montrer que si  $\frac ca+\frac cb$ est aussi un  entier naturel , alors le triangle ne peut pas être rectangle en A

pldx1

Aidons les boeufs à trianguler les rectangles.
Supposons que ${\dfrac {c}{a}}+{\dfrac {c}{b}}=k$. On en déduit que ${\dfrac {{k}^{2}{a}^{2}{b}^{2}}{ \left( b+a \right) ^{2}}}-{a}^{2}-{b}^{2}=0$
On en conclut que: $-{a}^{4}=b \left( -{a}^{2}b{k}^{2}+2\,{a}^{3}+2\,{a}^{2}b+2\,a{b}^{2}+{b}^{3} \right) $. Autrement dit, tout diviseur premier de $b$ diviserait $a$, et symétriquement. A cause de $c^2=a^2 +b^2$ il diviserait aussi $c$. Par descente infinie, on arriverait à $a=b=1$ qui est impossible.

On voit toute la puissance de la formule $s$. Même quand on ne s'en sert pas, les choses simples se prouvent simplement.

gebrane

@pldx1 Tu es aveuglé par ton orgueil. Tu peux montrer ceci si t'en es capable en supposant que le triangle est rectangle en A, que 
si $\frac ca+\frac cb\in \mathbb N$, alors il existe un entier $s\in \mathbb N$ tel que $$a^2-sab+b^2=0$$
Puis aboutir à une contradiction en utilisant l'application 2.
Tu ne vas jamais changer, toujours désagréable

S0_

Nous avons établi deux Théorèmes:
(b+b''')(b''+b''')=z²
(1/b)+(1/b''')=(1/b')+(1/b''')
Soit ABC un triangle H un point de (AB) différents de A et de B.
Quand on applique le théorème de Pythagore généralisé au triangle AHC; on obtient: 

AC²=AH²-2v(AH)×v(HC)+HC² avec  v qui représente la valeur algébrique...
Posons AC²=tv(HC)×v(AH), on retrouve une équation de la forme:
AH²+sv(AH)×v(HC)+HC²=0; cette équation nous propose deux solutions possibles de v(AH) quand v(HC) est fixée....
De même si nous choisissons le triangle BCH on obtient deux solutions possibles de v(BH) en fixant v(HC)...
Avec le déplacement de H sur (AB); on obtient quatre triangle dont un coté commun à ces quatre triangles est [AB].....

Soit H, H', H'' et H''' les déplacements
possibles de H sur (AB) après  la somme v(AH)+v(HB) et C, C', C'' et C''' les troisièmes sommets de ces triangles

On a:
[v(CH)+v(C'''H''')][v(C'H')+v(C''H'')]=AB²
[1/v(CH)]+[1/v(C'''H''')]=[1/v(C'H')]+[1/v(C''H'')]
Ici je relis directement C à H, C' à H'.... pour obtenir le respect des b,b',b'' et b''' qu'on avait dans l'autre poste
La question qu'on se pose est de savoir la conditions qui nous permet d'avoir ces quatre triangles.....ceci fera l'objet du poste suivant.....
Commentaires et (appréciations ou suggestions) sont attendus...
Cordialement

raoul.S

Tu ne vas jamais changer, toujours désagréable

À force de trainer avec Spike...
PS. https://www.uniprot.org/uniprot/A0A0S7I7I1#:~:text=Protein,Submitted name: PLDX1

S0_

Une équation triviale à montrer mais très puissante (les applications en géométrie)

Nous avons établi deux Théorèmes:

(b+b''')(b''+b''')=z²

(1/b)+(1/b''')=(1/b')+(1/b''')

Soit ABC un triangle H un point de (AB) différents de A et de B.

Quand on applique le théorème de Pythagore généralisé au triangle AHC; on obtient: 

AC²=AH²-2v(AH)×v(HC)+HC² avec  v qui représente la valeur algébrique...

Posons AC²=tv(HC)×v(AH), on retrouve une équation de la forme:

AH²+sv(AH)×v(HC)+HC²=0; cette équation nous propose deux solutions possibles de v(AH) quand v(HC) est fixée....

De même si nous choisissons le triangle BCH on obtient deux solutions possibles de v(BH) en fixant v(HC)...

Avec le déplacement de H sur (AB); on obtient quatre triangle dont un coté commun à ces quatre triangles est [AB].....

Soit H, H', H'' et H''' les déplacements

possibles de H sur (AB) après  la somme v(AH)+v(HB) et C, C', C'' et C''' les troisièmes sommets de ces triangles

On a:

[v(CH)+v(C'''H''')][v(C'H')+v(C''H'')]=AB²

[1/v(CH)]+[1/v(C'''H''')]=[1/v(C'H')]+[1/v(C''H'')]

Ici je relis directement C à H, C' à H'.... pour obtenir le respect des b,b',b'' et b''' qu'on avait dans l'autre poste

La question qu'on se pose est de savoir la conditions qui nous permet d'avoir ces quatre triangles.....ceci fera l'objet du poste suivant.....

Commentaires et (appréciations ou suggestions) sont attendus...

Cordialement

nicolas.patrois

Sans avoir dit où vivent tes lettres et ce que signifient tes symboles, tes égalités n’ont aucun sens.

gerard0

Je lui ai demandé, mais il n'a pas répondu. Il fonctionne en cercle fermé sur lui-même. Il n'a même pas regardé (ou pas compris) ce que disait Gebrane.

Et il a encore ouvert un nouveau sujet sur le même thème, obligeant les modérateurs à les fusionner !!

gebrane

Oui @gerard0, il reste enfermé dans son cercle.

Je voulais lui faire comprendre que la résolution de nombreux problèmes peuvent nous mener à l'étude de  a²+sab+b²=0  avec des êtres mathématiques a et b qui peuvent être des matrices, des entiers , des polynômes , des fonctions, ... .

Mais dans le cas des réels  comme il le fait , l'équation est bidon 

Dom

J’avoue que c’est fort ce fil. 

Ça dépasse Shtam je trouve. 

i.zitoussi

Oui, en trois fils bien ciselés, c'est une entrée fracassante dans le top 5 du Shtam, facile.

gebrane

Il manque @lourrran j'aime bien ces commentaires dans le Shtam.

S0_

Bonjour

S'il vous plaît ;
 je vous dis une chose....mon portable ne me permet pas de Bien faire ce que vous dites...
Si vous ne comprenez pas une ligne je suis ouvert à celà et ensemble on fera plus.....
Je sais que comme ça on a pas envie de bien lire....

M.geraf0;

je ne suis pas dans un cercle fermé sinon pourquoi poserais le débat ici? mais comme tu commences par dire ce qui n'a pas de rapport avec ce que j'ai Posté...

M.gebrane

Je n'ai pas vu mon poste dans votre sens;
Un poste doit avoir un sens et moi j'ai le sens que je donne; si vous trouvez un autre sens à l'équation t'en mieux.... En suite ce je vais vous faire savoir que c'est un puissant sens et non un sens bidon je suis entrain de développer comme vous le préférez....

gebrane

So

Surement , je n'ai pas ton niveau. Il me faut des jours pour comprendre ce que tu vois en un flash de seconde. Ton intelligence dépasse les membres de ce forum. Tu n'as pas besoin de nous. On est un obstacle . BONNE CONTINUATION

S0_

 Je ne dépasse personne; je suis pour que les choses aillent mais bon comme vous le vouliez.....
Je serai comme un simple membre du forum et je ne vais plus publier un article dedans mais plutôt pour commenter les aides puis apporter mes réponses si j'en ai....

Zgrb

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2342418/#Comment_2342418

Une figure pour accompagner ce message ne serait pas de trop !

gerard0

Dès le départ, je t'ai dit que ce que tu disais est incompréhensible, que tes notations x=(d)b et x'=(d')b n'ont pas de significations communes, qu'on ne sait pas d'où sortent toutes tes lettres, tu n'as fait aucun effort pour communiquer, tu as continué pour toi. Tu ne viens pas discuter (tu aurais répondu aux questions), tu ne viens pas exposer des maths (tu utiliserais les notations courantes, tu dirais de quoi tu parles), tu viens te faire mousser avec une petite évidence algébrique d'élève de lycée. Et tu apparais comme un vantard.

Désolé pour toi, mais autant être franc, tu fais marrer tout le monde ! Personne ne te prend au sérieux.

NB : Si tu veux être pris au sérieux, reprends tout à 0, en rédigeant avec les notations mathématiques courantes et en expliquant toute notation que tu utilises.

S0_

C'est ce que je te refuse m.gerad0....
On ne m'attaque pas inutilement sans avoir le retour....
Je vais répondre à quoi??? Où je veux reprendre quoi???
Je n'ai jamais dit que les gens devaient me prendre au sérieux dans le forum mais un groupe reste le respect dans le débat....
Je ne suis pas de nature à dénigrer les efforts des autres mais plutôt comprendre ce que veut affirmer chacun....
Tu as même affirmé que ''je voulais être ce que je ne suis pas'' mais pourtant je suis tout de même moi-même....
Maintenant j'ai dit là-bas que si une chose est mauvaise de me dire et je vais rectifier mais m'attaquer sans même comprendre ce que j'ai fait est bizarre.....

nicolas.patrois

On ne comprend pas ce que tu fais parce que tu ne respectes pas les règles du jeu mathématique.

S0_

M.zgrb 
Bonjour ;
mon portable ne me permet trop une construction figure....
Donc si vous pouvez m'aider ; je vous donne les directives.....

Zgrb

Vous pouvez faire la figure sur une feuille de papier et joindre une photo.

S0_

Ok ... merci pour votre idée;
 je vais l'essayer et l'envoyer....

S0_

C'est ce que j'ai pu faire, essayez de voir...

Avant que je ne continue