Réduction d'une matrice symétrique réelle
Bonjour,
Je me pose quelques questions autour des notions de matrices symétriques réelles / formes quadratiques / formes bilinéaires symétriques / endomorphismes symétriques.
Voici la première question : je sais que toute matrice réelle symétrique est diagonalisable dans une base orthonormale. Mais quel est l'intérêt de diagonaliser une telle matrice dans une base orthonormale par rapport à une base de vecteurs propres quelconque ?
En faisant des exercices à la main, le seul avantage que j'y vois c'est qu'il est plus facile d'obtenir la matrice transposée (dans le cas orthogonal) que la matrice inverse (dans le cas quelconque) pour la matrice de passage. Je pense quand même que le fait d'être dans une base orthonormale apporte un plus, mais lequel ?
Quelqu'un pourrait-il m'en dire plus ?
Je me pose quelques questions autour des notions de matrices symétriques réelles / formes quadratiques / formes bilinéaires symétriques / endomorphismes symétriques.
Voici la première question : je sais que toute matrice réelle symétrique est diagonalisable dans une base orthonormale. Mais quel est l'intérêt de diagonaliser une telle matrice dans une base orthonormale par rapport à une base de vecteurs propres quelconque ?
En faisant des exercices à la main, le seul avantage que j'y vois c'est qu'il est plus facile d'obtenir la matrice transposée (dans le cas orthogonal) que la matrice inverse (dans le cas quelconque) pour la matrice de passage. Je pense quand même que le fait d'être dans une base orthonormale apporte un plus, mais lequel ?
Quelqu'un pourrait-il m'en dire plus ?
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Réponses
quand on trace une ellipse dans le plan, « de travers », son expression dans le repère cartésien est « moche ».
- Géométrie. Classification des coniques ou des quadriques comme Dom l’a mentionné.
- Analyse. Déterminer la nature des points critiques en fonction des valeurs propres de la matrice hessienne.
- Probabilité. Vecteurs Gaussien et loi normale multidimensionnelle.
- Algèbre. Existence d’une base orthogonale à la fois pour une forme quadratique et pour un produit scalaire.
- Décomposition en valeurs singulières.
J’ai noté tout ce qui me venait sur le moment, mais il y en a beaucoup d’autres.
Si on considère donc une matrice symétrique réelle qu'on diagonalise dans une base orthonormale, ça donne une matrice diagonale, et si on considère la forme quadratique associée à cette matrice, ça permet d'écrire plus simplement cette forme quadratique (avec les conséquences que vous avez citées).
Mais si maintenant je considère la forme bilinéaire symétrique (notée f) associée à cette même matrice, quelles sont les conséquences de cette diagonalisation pour f ?