Généralisation de zêta de Riemann par la transformée de Mellin

L2M

Bonsoir,

Soit $f$ une fonction continue sur $[0;+\infty[$ telle que sa transformée de Mellin $\mathcal{M}_f$ converge. $$\mathcal{M}_f (z) = \int_{0}^{+\infty} t^{z-2}f(t) dt.$$

Je viens de découvrir que la fonction $\zeta_f(z) := \frac{1}{\Gamma(z)} \int_{0}^{+\infty} t^{z-2}f(t) dt$ n'est autre qu'une parfaite généralisation de la fonction zêta de Riemann. Elle a toutes les propriétés de cette dernière. La dernière chose qui me restait à vérifier pour affirmer ceci est qu'elle possède une formule identique à la formule de Hurwitz (l'équivalent de l'équation fonctionnelle de $\zeta$).

rémi

Que signifie "Elle a toutes les propriétés de cette dernière." précisément ?

Sato

Que c’est la même ?

L2M

Par exemple, $\zeta_f(z)$ a

1- une équation fonctionnelle ;

2- une représentation par une série ;

3- une représentation par intégrale de contour ;

4- si $f(0)\not= 0$, la fonction $\zeta_f(z)$ se prolonge en une fonction analytique sur $\mathbb{C} \setminus  \{1\}$ et admettant un pôle simple en $1$ de résidu $f(0)$, alors que si $f(0)=0$, elle est entière ;

5- valeurs aux entiers positifs écrites en fonction des coefficients du développement en série entière de $f$ en $0$ ;

6- valeurs aux entiers négatifs écrites en fonction des coefficients du développement en série entière de $f$ en $0$ (chose déjà faite).

L2M

Bonsoir

Pour tester la puissance de ce résultat, j'ai pris l'exemple de la fonction zêta de Bertrand définit par : $$\zeta_B(z)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n\ln^z n}.$$

Grâce à ce concept de zêta d'une fonction $f$, j'ai pu montrer que : $\zeta_B(0)=\gamma-1  \quad \text{et} \quad  \zeta_B(-1)= \frac{\gamma_1}{2}$.

Le problème est que je ne trouve pas de logiciel qui reconnait cette fonction de Bertrand pour vérifier ces résultats.

gebrane

Tes lecteurs @L2M   non avertis (qui ne savent pas ce qu'est un prolongement analytique) devraient comprendre que $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac 1n=-\frac 12$ ?