Diagonalisation
Bonjour
Je bloque sur cet exercice. J'ai calculé la matrice $M$. On a $\forall i \in [|1,n|] \ L_i = [a_i \cdots a_i]$ elle est de rang $1$.
Donc $\dim \ker M =n-1$ et $0$ est valeur propre avec une multiplicité supérieure ou égale à $n-1$.
Mais après je bloque.
Je bloque sur cet exercice. J'ai calculé la matrice $M$. On a $\forall i \in [|1,n|] \ L_i = [a_i \cdots a_i]$ elle est de rang $1$.
Donc $\dim \ker M =n-1$ et $0$ est valeur propre avec une multiplicité supérieure ou égale à $n-1$.
Mais après je bloque.
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Réponses
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Cordialement,
Rescassol
Voici le début d'un sujet d'agrégation d'analyse numérique de 1989, en lien avec la question posée.
Jean-éric.
@Bd2017 oui c'est vrai mais l'ancien exercice était plus difficile et ici on n'a pas forcément besoin des résultats compliqués de l'ancien exercice.
Notons $\lambda$ la dernière valeur propre. Les autres valeurs propres sont nulles.
On a $Tr(M)= \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i $ Donc $\lambda = \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$.
Distinguons deux cas.
Si $ \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i =0$ alors toutes les valeurs propres sont nulles, et donc si $M$ est diagonalisable on trouve $M=0$ ce qui est absurde car $a$ est un vecteur non nul.
Si $ \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i \ne 0$ la matrice $M$ a deux valeurs propres distinctes. La multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension de sons sous-espace propre associé, donc $M$ est diagonalisable.
Finalement, $M$ est diagonalisable si et seulement si $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_{i} \ne 0$.
Et c'est un conseil avisé, OS regarde cela pour $n=2$ voir $n=3$, c'est suffisant pour comprendre, reste encore des vecteurs propres à déterminer.