Relation avec forme linéaire et notation matricielle

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Bonjour
J'ai un souci pour comprendre la manière dont est notée la relation (3.1) que vous verrez dans le fichier que j'envoie avec ce post.
L'auteur précise juste au-dessus qu'il note les $e_a$ comme des covecteurs, autrement dit, en notation matricielle, comme des matrices lignes
(même s'il ne le précise pas mais pour autant que je sache, on fait toujours ainsi).
Pourtant, s'il en est ainsi, ça me perturbe car le produit matriciel écrit dans le membre de gauche n'est définie que si $V$ est de dimension $1$.
La ligne (3.2), elle, me paraît tout à fait claire avec une convention d'Einstein sur l'indice muet $b$ et en notant $(T(g))_{ab}$, le coefficient en ligne $a$,
colonne $b$ de la matrice de $T(g)$ dans la base des $e_a$ pour le membre de droite, et enfin, $(T(g)v)_a$ désignant la composante de l'élément
 $T(g)v$ de $V$ dans la base des $e_a$, là aussi. C'est la relation qu'on voit au début de tout cours d'intro à l'algèbre linéaire.
Du coup, en supposant que l'auteur garde une notation très cohérente, j'imagine aussi qu'il y a une convention d'Einstein pour le membre de droite de (3.1)
toujours avec $b$ comme indice muet et toujours $T(g)_{ba}$ comme coeff de la matrice ... etc ... bien qu'il ait permuté les indices cette fois-ci.
Est-ce juste une définition du membre de gauche ? Et donc juste une manière de définir un produit à droite d'une matrice par un covecteur ?