OShine il faut vraiment arrêter d'apprendre par cœur le cours, au bout de 2-3 ans les résultats ne sont pas là. T'en es encore à te demander si $r$ est unique... mais au lieu de te limiter à te le demander, pourquoi tu ne cherches pas la réponse ?
Pourtant ce mini-exo intermédiaire est très simple : si $r,r'\in \R^{*}$ vérifient $r\Z=r'\Z$ quelle relation il y a entre $r$ et $r'$ ?
Oui c'est la honte. Une idée m'est venue. Si $r=0$ alors $r'=0$. Supposons $r \ne 0$. On a $r \in r \Z$. Ainsi, $r \in r' \Z$. Il existe $q \in \Z$ tel que $r=r' q$. Comme $r \ne 0$, $q \ne 0$. On a donc $r \mid r'$. De même, $r' \mid r$. On en déduit que $ \boxed{r= \pm r'}$
Encore une erreur On pose $r=p/q$ et $r'= p'/q'$. Si on a $r \Z = r' \Z$ alors $\dfrac{p}{q} \Z = \dfrac{p'}{q'} \Z$ On multiplie par $qq'$ donc $q' p \Z = p' q \Z$ Avec mon raisonnement précédent, $|q' p| = |p' q|$ En divisant par $|qq'[ \ne 0$ on trouve le résultat voulu $|r| = |r'|$
Réponses
Pourtant ce mini-exo intermédiaire est très simple : si $r,r'\in \R^{*}$ vérifient $r\Z=r'\Z$ quelle relation il y a entre $r$ et $r'$ ?
Si $r=0$ alors $r'=0$.
Supposons $r \ne 0$.
On a $r \in r \Z$. Ainsi, $r \in r' \Z$. Il existe $q \in \Z$ tel que $r=r' q$. Comme $r \ne 0$, $q \ne 0$.
On a donc $r \mid r'$.
De même, $r' \mid r$. On en déduit que $ \boxed{r= \pm r'}$
Que signifie $r\mid r'$ pour des rationnels ?
Cordialement,
Rescassol
On pose $r=p/q$ et $r'= p'/q'$.
Si on a $r \Z = r' \Z$ alors $\dfrac{p}{q} \Z = \dfrac{p'}{q'} \Z$
On multiplie par $qq'$ donc $q' p \Z = p' q \Z$
Avec mon raisonnement précédent, $|q' p| = |p' q|$
En divisant par $|qq'[ \ne 0$ on trouve le résultat voulu $|r| = |r'|$
PS : enfin
Le sens $|r|=|r'| \Longrightarrow r\Z=r'\Z$ est évident et la question $36$ demande seulement si $r$ est unique, pas de montrer la réciproque.
Cordialement,
Rescassol