Réseaux de $\Q^n$
Bonjour
Je bloque sur la question $36$, j'ai cherché une bonne demi-heure mais je n'ai pas réussi.
Question $35$ :
Question $36$ :
Si $n=1$ alors $v_1, \cdots, v_m \in Q$. Ainsi, $R=\Z v_1+ \cdots + \Z v_m$
Soit $x \in R$ alors $x=k_1 v_1 + \cdots + k_m v_m$.
Je bloque sur la question $36$, j'ai cherché une bonne demi-heure mais je n'ai pas réussi.
Question $35$ :
- $0 \in R$.
- Soient $(x,y) \in R^2$. Alors $x=\displaystyle\sum_{i=1}^m k_i v_i$ et $y=\displaystyle\sum_{i=1}^m l_i v_i$. Alors $x+y= \displaystyle\sum_{i=1}^m (k_i+l_i) v_i \in R$ car $\forall i \in [|1,m|] \ k_i +m_i \in \Z$
- Soit $x=\displaystyle\sum_{i=1}^m k_i v_i$ alors $-x=-\displaystyle\sum_{i=1}^m k_i v_i \in R$ car $\forall i \in [|1,m|] \ -v_i \in \Z$.
Question $36$ :
Si $n=1$ alors $v_1, \cdots, v_m \in Q$. Ainsi, $R=\Z v_1+ \cdots + \Z v_m$
Soit $x \in R$ alors $x=k_1 v_1 + \cdots + k_m v_m$.
Mots clés:
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Connais-tu la démonstration ?
Quel est le rapport avec la question posée ?
Oui je connais l'idée de la démonstration avec la division euclidienne.
Je ne vois pas le rapport avec la question posée.
Je ne vois pas comment répondre à la question sur l'unicité.
Car si $r=1/3$ alors $r\Z=\{ 0 ,1/3,2/3,1,4/3, \cdots \}$
On ne peut pas refaire cette liste identique avec un autre rationnel.
Je ne comprends rien à cette question. Je connais la preuve avec les sous-groupes de $(\Z,+)$ mais je ne sais pas l'adapter ici.
Bon finalement adapter le preuve de $\Z$ ça complique. Il y a plus simple.
Pour tout $k=1..m$, soient $p_k,q_k$ des entiers tels que $v_k=\dfrac{p_k}{q_k}$.
1) Réécris $k_1v_1+...+k_mv_m$ en mettant tout sous le même dénominateur.
2) En regardant le numérateur et en utilisant le résultat connu pour $(\Z,+)$ conclure.
Soit $x \in R$.
On a $x=\displaystyle\sum_{i=1}^m k_i v_i = \displaystyle\sum_{i=1}^m k_i \dfrac{p_i}{q_i}= \dfrac{k_1 p_1}{q_1} + \cdots + \dfrac{ k_m p_m}{q_m}$
Ainsi $\boxed{\displaystyle\sum_{i=1}^m k_i v_i =\dfrac{k_1 p_1 \times \displaystyle\prod_{j \ne 1}^m q_j+ \cdots + k_m p_m \times \displaystyle\prod_{j \ne m}^m q_j}{ \displaystyle\prod_{j=1}^m q_j} }$
A partir de là je bloque, je n'ai pas compris où utiliser les sous-groupes de $(\Z,+)$. Je n'ai pas de groupe ici, juste un dénominateur et un numérateur.
Donc le numérateur est de la forme $n \Z$ avec $n \in \N$.
Ainsi, il existe $n \in \N$ tel que $x= \dfrac{n \Z}{\displaystyle\prod_{j=1}^m q_j}$
Ainsi $R \subset r \Z$ avec $\boxed{r=\dfrac{n}{\displaystyle\prod_{j=1}^m q_j}}$
Réciproquement, montrons que $r \Z \subset R$. Je ne vois pas comment montrer cette inclusion.
Pour l'unicité, comment savoir ? On ne sait pas si le $n$ est unique, seuls les $q_i$ sont fixés dès le départ.
Pour la question suivante, voici mon raisonnement.
Soit $x \in R$. On pose $x=k_1 v_1 + \cdots +k_m v_m$ et en notant $v_i =(v_{1i}, \cdots, v_{mi})$ on a $\pi(x)=k_1 v_{1m} + \cdots + k_m v_{mm}$.
D'après la question précédent, il existe $r \in \Q$ tel que $\pi(x)=r \Z$.
Il suffit donc de prendre $\boxed{w=(0, \cdots, 0,r)}$ non ?
Tu as parlé de division euclidienne : elle est utile dans la deuxième partie de la preuve quand on a déjà trouvé $n$... mais comment trouve-t-on $n$ avant cela ?
Quant à l'unicité, je n'aurai qu'un aphorisme : "Il existe des entiers qui ne sont pas positifs !"
Cet aphorisme peut d'ailleurs se décliner de diverses manières : "Il existe des réels qui ne sont pas des entiers" ou encore "Il existe des complexes qui ne sont pas réels".
Merci je n'avais pas fait attention au fait qu'on doit prendre la borne inférieure pour $n$...
Je dois refaire cette preuve pour les sous-groupe de $(\Q,+)$ ?
Soit $G$ un sous-groupe de $(\Z,+)$. Montrons qu'il existe $n \in \N$ tel que $G=n \Z$
Si $G=\{0 \}$ alors $G=n \Z$ en prenant $n=0$.
Si $G$ n'est pas réduit à l’élément neutre de $(\Z,+)$ alors il existe $g \in G$ tel que $g \ne 0$. Comme $G$ est un groupe, $-g \in G$.
Ainsi, $G $ contient un élément strictement positif entier, prenons $n= \inf G \cap \N^{*}$.
Comme $G$ est un groupe, on a $\forall k \in \N^{*} \ \ k n \in G$ et $-kn \in G$. Donc $\boxed{n \Z \subset G}$
Montrons que $G \subset n \Z$.
Soit $g \in G$. On effectue la division euclidienne de $g$ par $n$ ce qui donne $g=qn+r$ comme $qn \in G$ on a $r= g-qn \in G$.
Mais $0 \leq r < n$ et $m$ est le plus petit entier positif dans $G$, la seule possibilité est $r=0$
Donc $g=qn \in n \Z$ donc $G \subset n \Z$
Finalement $\boxed{G=n \Z}$.
On sait que $\Z \left(p_1 \times \displaystyle\prod_{j \ne 1}^m q_j\right) +\cdots + \Z \left( p_m \times \displaystyle\prod_{j \ne m}^m q_j\right)=n\Z$ pour un certain entier $n$. Il reste à montrer l'inclusion triviale $r \Z \subset R$. Or on a montré que $R=\{\dfrac{a}{\prod_{j=1}^m q_j}\mid a\in \Z \left(p_1 \times \displaystyle\prod_{j \ne 1}^m q_j\right) +\cdots + \Z \left( p_m \times \displaystyle\prod_{j \ne m}^m q_j\right) \}$, donc $R=\{\dfrac{a}{\prod_{j=1}^m q_j}\mid a\in n\Z\}=\dfrac{n}{\prod_{j=1}^m q_j}\Z=r\Z$. Voilà...
Pour l'autre méthode que tu as commencé ICI tu dois réécrire la preuve avec $\Q$ au lieu de $\Z$ et voir où ça coince...
Pour la démonstration je vais essayer de la reprendre.
Soit $G$ un sous-groupe de $(\Q,+)$. Montrons qu'il est de la forme $n \Q$ avec $n \in \N$.
Si $G=\{0 \}$ alors $G= 0 \Q$
Supposons $G \ne \{0 \}$. Alors il existe $x \in G$ non nul et $-x \in G$ aussi.
$G$ contient un élément strictement positif, notons $n = \inf G \cap \N^{*}$
Comme $G$ est un groupe, on a $\boxed{n \Q \subset G}$.
Soit $g \in G$. On peut écrire $g= \dfrac{p}{q}$ avec $(p,q) \in \Z \times \Z^{*}$.
Ainsi, $|gq| \in \N$. Effectuons la division euclidienne de $|gq|$ par $n$.
On $|gq| = n k+ r$ avec $0 \leq r < n$. Or $r= |gq| - nk \in G$ donc on en déduit $r=0$
Et $|gq| =nk $ donc $g = \pm \dfrac{k}{q} n \in n \Q$ donc $\boxed{G \subset n \Q}$
On a montré que $\boxed{G= n \Q}$
$r$ n'est pas unique car $r \Z = - r \Z$.
Du coup, $R=n \Q$ pour un certain entier $n$ mais comment montrer que $R= r \Z$ avec cette méthode ?
Alors je ne comprends pas la méthode proposée par Bisam.
> $2 \Q$, c'est l'ensemble des rationnels dont le numérateur est pair
N'importe quoi !!! Et ce gars est prof !!
Cordialement,
Rescassol
Phil Caldéro (qui passe 15 secondes par question en donnant juste l'idée) donne la même idée que Raoul.S il dit de multiplier par le dénominateur $d$ de tel sorte que $d R$ est un sous-groupe de $(\Z,+)$ il sera de la forme $m \Z$. Il suffit de poser $r=m/d$.
La méthode de Bisam m'est incompréhensible.
Et si tu te donnais la peine de réfléchir un peu: $\dfrac{1}{3}=2\times \dfrac{1}{6} \in 2\Q$ ?
Cordialement,
Rescassol
$1/3 \in 2 \Q$ j'ai écrit des bêtises.
@Rescassol
J'ai voulu aller trop vite.
Je bloque à la question $38a$. Voici ce que j'ai essayé.
Supposons qu'un tel couple existe. Alors $\pi(x)=\pi( qw+ \tilde{x})=q \pi(w)+0= q \pi(w)$
Mais je bloque ici.