Mesure de Haar sur $\Q_p$

heinz

Je fais des exercices sur la mesure de Haar.

Pour montrer que $\mu$ est une mesure de Haar à gauche sur $G$, on démontre que $\int_G f(gx)\,d\mu(x)=\int_G f(x)\,d\mu(x)$ pour tout $f$ mesurable et tout $g\in G$. Les premiers exemples sur $\R$, $\R^n$ et $GL_n(\R)$ se démontrent facilement, à l'aide de la formule de changement de variables.
Mais je m'intéresse aux groupes sur $\Q_p$.

Soit $dx$ est la mesure de Haar sur $\Q_p$ avec $dx(\Z_p)=1$.
Je peux démontrer que, si $dx$ est la mesure de Lebesgue sur $\R$, alors $|x|^{-1} dx$ est une mesure de Haar sur $\R^\times$. 
Comment je démontre l'énoncé analogue pour $\Q_p$ : si $dx$ est la mesure de Haar sur $\Q_p$, alors $|x|_p^{-1} dx$ est une mesure de Haar sur $\Q_p^\times$ ?
On considère le groupe des matrices triangulaires supérieures $\left\{\begin{pmatrix}x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}\right\}\subset GL_2(\Q_p)$.Je veux démontrer que $|z|_p^{-1} dx\,dy\,dz$ est une mesure de Haar à gauche.

On a $\begin{pmatrix} a& b\\ 0 & c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax & ay+bz \\ 0 & cz\end{pmatrix}$, donc le jacobien de la transformation $(x,y,z)\mapsto (ax,ay+bz,cz)$ est $a^2 c$. Comment je procède ?
Tout aide est la bienvenue

Georges Abitbol

Attends, attends. Si tu as un candidat de mesure de Haar, est-ce qu'il ne te suffit pas de vérifier ? La mesure de Haar sur $\mathbb{Q}_p$, elle est assez explicite sur certains sous-ensembles assez nombreux pour appliquer des lemmes de classe monotone ?

Pour ton sous-groupe affine de $GL_2(\mathbb{Q}_p)$, ben ça devrait être un petit peu plus compliqué mais pas beaucoup, non ?

Paul Broussous

Tu devrais trouver ton bonheur dans le livre de Daniel Bump "Automorphic forms and representation", c'est une bible pour les débutants en $p$-adique et automorphe.

 Pour la mesure de Haar sur ${\mathbb Q}_p^{\times}$, il faut commencer par montrer que si $\mu$ est  une mesure de Haar additive et $a\in {\mathbb Q}_p^{\times}$, alors $\mu (aE)=\vert a\vert_p \, \mu (E)$, pour tout ensemble mesurable $E$. Pour cela, par "unicité" de la mesure de Haar, il suffit de tester sur $E= \Z_p$ par exemple.

 Pour le second problème, le mot clé est "module" : des mesures de Haar à gauche et à droite diffèrent par le caractère module (modulus character). Il faut donc calculer ce caractère. Ça doit être fait dans Bump. Sinon, je te renvoie à un de mes vieux polycopiés :

 http://www-math.univ-poitiers.fr/~broussou/M2Langlands.pdf

 D'ailleurs, il y a une erreur dans ta formule.